Supongamos que A es un conjunto no vacío de números reales y r > 0. Sea B = \left\{ra : a A\right\}. Demuestra que \sup A existe si y solo si \sup B existe. Además, si existen, demuestra que \sup B = r \sup A.
No puedo parece poder resolver esta pregunta.
Suponga que a_0=\sup A. Fije b\in B. Tenemos b=ra para algún a\in A. Dado que a\le a_0, obtenemos b=ra\le ra_0 y ra_0 es una cota superior de B. Si hubiera una cota superior menor, digamos c, entonces \frac{c}{r} sería la cota superior de A, que es menor que a_0=\sup A. Por lo tanto, ra_0=\sup B. Para la implicación inversa, observe que A=\left\{\dfrac{1}{r}B:b\in B\right\}.
No estoy seguro de por qué lo hice así, pero era la imagen que tenía en mi cabeza, así que la escribí.
Sea a el supremo de A. Define a_n \in A de manera que a_n \in (a-\frac{1}{n},a]. Observa que a_n \to a por construcción.
Ahora, cada a_n tiene un respectivo r \cdot a_n=b_n \in B, que también es convergente, digamos que b_n \to b=r \cdot a (lo cual se puede deducir usando la continuidad). Observa que $b \leq \sup B,
¿Cómo podemos demostrar que \sup B \leq b?
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