Supongamos que $A$ es un conjunto no vacío de números reales y $r > 0$. Sea $B = \left\{ra : a A\right\}$. Demuestra que $\sup A$ existe si y solo si $\sup B$ existe. Además, si existen, demuestra que $\sup B = r \sup A$.
No puedo parece poder resolver esta pregunta.
Suponga que $a_0=\sup A$. Fije $b\in B$. Tenemos $b=ra$ para algún $a\in A$. Dado que $a\le a_0$, obtenemos $b=ra\le ra_0$ y $ra_0$ es una cota superior de $B$. Si hubiera una cota superior menor, digamos $c$, entonces $\frac{c}{r}$ sería la cota superior de $A$, que es menor que $a_0=\sup A$. Por lo tanto, $ra_0=\sup B$. Para la implicación inversa, observe que $A=\left\{\dfrac{1}{r}B:b\in B\right\}$.
No estoy seguro de por qué lo hice así, pero era la imagen que tenía en mi cabeza, así que la escribí.
Sea $a$ el supremo de $A$. Define $a_n \in A$ de manera que $a_n \in (a-\frac{1}{n},a]$. Observa que $a_n \to a$ por construcción.
Ahora, cada $a_n$ tiene un respectivo $r \cdot a_n=b_n \in B$, que también es convergente, digamos que $b_n \to b=r \cdot a$ (lo cual se puede deducir usando la continuidad). Observa que $b \leq \sup B,
¿Cómo podemos demostrar que $\sup B \leq b$?
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