¿Biyección entre conjuntos de morfismos de categorías equivalentes?

Question

He estado tratando de demostrar la siguiente afirmación, pero ahora tengo dudas sobre su veracidad. ¿Es cierto y, de ser así, dónde puedo encontrar una demostración?

Afirmación: Para cualquier categorías C, D, E tales que C y D son equivalentes,

(i) El conjunto $Hom($C, E$)$ de funtores de C a E está en correspondencia biyectiva con el conjunto $Hom($D, E$)$ de funtores de D a E, es decir, $Hom($C, E$\simeq$ $Hom($D, E$Hom($E, C$)$ de funtores de E a C está en correspondencia biyectiva con el conjunto $Hom($E, D$)$ de funtores de E a D, es decir, $Hom($E, C$\simeq$ $Hom($E, D

Answer 1

Voy a convertir mi comentario en una respuesta.

Si $X$ es cualquier conjunto no vacío, entonces sea ${\mathcal C}_X$ la categoría que tiene a $X$ como su clase de objetos y, para cada par $(x_1,x_2)\in X^2$, tiene exactamente un morfismo $\varphi_{x_1,x_2}:x_1\to x_2$. Todo morfismo en ${\mathcal C}_X$ es necesariamente un isomorfismo.

Cualquier función $f: X\to Y$ es la parte de objeto de un único funtor $F: {\mathcal C}_X\to {\mathcal C}_Y$, y cualquier par de tales funtores son naturalmente isomorfos. En particular, ${\mathcal C}_X$ y ${\mathcal C}_Y$ son equivalentes categóricamente para cualquier conjunto no vacío $X$ y $Y$.

Por lo tanto, para $X = \{0\}$, $Y = \{0,1\}$, y ${\sf C} = {\mathcal C}_X$, ${\sf D} = {\sf E} = {\mathcal C}_Y$ tenemos
(i) $|\textrm{Hom}({\sf C}, {\sf E})| = 2$ y $|\textrm{Hom}({\sf D}, {\sf E})| = 4$, mientras que
(ii) $|\textrm{Hom}({\sf E}, {\sf C})| = 1$ y $|\textrm{Hom}({\sf E}, {\sf D})| = 4$.