Progresivamente Medible para Procesos Adaptados a la Derecha Continua

Question

Cualquier proceso adaptado y continuo por la derecha $X_t$ es medible de forma progresiva.

Para la declaración anterior, encontré pruebas en varios libros. Todos ellos tienen un argumento similar como sigue. Para un dado $t > 0$ y $n \in \mathbb N$, define la siguiente secuencia de funciones $$ X_n(s) := X \left( \frac{(k+1)t}{2^n} \right), \ \ \mathrm{si} \ \frac{kt}{2^n} continua por la izquierda. ¿Mi pregunta es por qué usar funciones continuas por la izquierda para aproximar una función continua por la derecha, por favor? ¿O tal vez no importa? Al principio, pensé que era un error tipográfico. Sin embargo, todas las pruebas que leí definen $X_n$ como continua por la izquierda. ¡Gracias!

Answer 1

Para ver el punto,

Arreglemos $t>s>0$ que queremos demostrar que $\lim_{n\to \infty}X_n(s)=X(s)$.

Observa que $$X_n(s)=X(t_{k^{n}+1})$$ donde $$k^n=\inf_{k\geq 0} \{k.t/2^n>s\}$$

El punto aquí es que $t_{k^n+1}$ está disminuyendo hacia $s$. Así que $\lim_{n\to\infty}X_n(s)=\lim_{n\to\infty}X(t_{k^n+1})=X(s)$ porque $X$ es continua por la derecha.

Si hubieras tomado las siguientes versiones continuas por la derecha de la discretización:

$$X_n(s):=X\left(\frac{(k+1)t}{2^n}\right), \ \ \mathrm{si} \ \frac{kt}{2^n}\leq s<\frac{(k+1)t}{2^n}$$

Entonces el proceso no es progresivamente medible (está "mirando" hacia el futuro en tiempos $s=kt/2^n$)

Si alternativamente hubieras elegido:

$$X_n(s):=X\left(\frac{kt}{2^n}\right), \ \ \mathrm{si} \ \frac{kt}{2^n}\leq s<\frac{(k+1)t}{2^n}$$

Entonces este sería progresivamente medible pero $\lim_{n\to\infty}X_n(s)=X(s^-)$ (límite continuo por la izquierda de $X$) porque equivalente de $t_{k^n+1}$ está aumentando hacia $s$ en este caso. Así que $X_n$ no converge a $X$ en el punto de discontinuidad de la trayectoria.

Saludos cordiales