Convergencia a ESD

Question

¿Cómo puedo mostrar que $\Delta Z_t = \theta \, \Delta t + \Delta B_t \rightarrow dZ_t = \theta \, dt + dB_t$ cuando $\Delta t \rightarrow 0$, donde $B_t$ es un movimiento browniano estándar?

Aquí la ecuación estocástica diferencial (sde) $dZ_t = \theta \, dt + dB_t$ es una forma abreviada de $Z_t = Z_0 + \int_0^t \theta \, ds + \int_0^t dB_s$.

Siempre lo he dado por sentado... y no puedo demostrar esto por nada del mundo. ¿Hay alguna otra forma de abordar esto? He intentado escribirlo como $\Delta Z_t = \theta \Delta t + \sqrt{\Delta t} \, \varepsilon$ donde $\varepsilon \sim N(0,1)$ pero aún no llego a ninguna parte.

Supongo que tengo que pasar por la definición de la sde y escribirla como una suma. ¿Algo así como $\sum\limits_j (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})$?

Answer 1

Para este caso específico, es fácil ver que si $\theta$ es una función lo suficientemente agradable, por Lebesgue-Stieljes se puede aproximar $\int \theta dt$ por $\sum\limits_{i=0}^{n-1} \theta(t_i) \Delta t_{i+1}$, donde $\Delta t_i := t_i - t_{i-1}$, donde $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n := t$ es una partición. Para la misma partición, se puede aproximar trivialmente $B_t = B_t - B_0=\sum\limits_{i=1}^{n} \Delta B_{t_i}$. De manera similar, $Z_t - Z_0 = \sum\limits_{i=1}^{n} \Delta Z_{t_i}$. Tomar el límite para las dos últimas aproximaciones es trivial y converge en todo sentido a $B_t$ y $Z_t - Z_0$, respectivamente. Así es como le damos sentido a $dZ_t = \theta dt + dB_t$.

Más generalmente, si tanto las integrales estocásticas como las de Lebesgue-Stieljes no son triviales, uno debe tener cuidado con qué partición usar porque las integrales estocásticas están definidas como límites $L^2$ mientras que Lebesgue-Stieljes se define como límite casi seguramente. Recomiendo mirar la prueba de la fórmula de Ito ya que claramente describe cómo lidiar con las dos.