Obteniendo el logaritmo de números negativos

Question

¿Es correcto este enfoque? $$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \tag{1}$$ pero de la famosa fórmula $e^{i\pi} = -1$ podemos extender el dominio del logaritmo natural y tener $i\pi = \ln (-1)$ por lo tanto para todo real y no nulo a podemos tener: $$\ln(a) = \ln(|a|\frac{a}{|a|}) = \ln(|a|) + \ln(\frac{a}{|a|})$$ por ejemplo para a negativo tenemos: $$\ln (a) = \ln(|a|) + i\pi$$

y con la fórmula (1) podemos extender esto a todos los números reales de a y b que son no nulos y la base distinta de 1. ¿Y cómo podemos extender esto a los cuaterniones?

Answer 1

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \tag{1}$$ pero a partir de la famosa fórmula $$e^{i\pi} = -1$$ tenemos $$i\pi = \ln (-1)$$

En lugar de utilizar la fórmula $(1),$ ¿no estás simplemente aplicando $\ln$ en ambos lados y luego aplicando la fórmula $$\ln e^z=z\,?$$ Desafortunadamente, esta fórmula no es generalmente aplicable para $z$ complejos; de hecho, $$\ln (-1)=i\pi +i2k\pi.$$

por lo tanto para todo real y no nulo a podremos tener: $$\ln(|a|\frac{a}{|a|}) = \ln(|a|) + \ln(\frac{a}{|a|})$$

Desafortunadamente, la fórmula $$\ln z_1z_2=\ln z_1+\ln z_2$$ tampoco es generalmente aplicable para $z$ complejos.

por ejemplo para a negativo tenemos: $$\ln (a) = \ln(|a|) + i\pi$$

De hecho, por la definición general de $\log,$ para $a<0,$ $$\ln (a)=\ln(-a) + i\pi +i2k\pi.$$

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Comentario del OP:

sí no presté atención a eso. de hecho, ya que $\exp(iz)=\exp(i(z+2π))$ ¡puede tener infinitos valores!

De hecho, $\exp(z)$ típicamente denota una función univalente, mientras que $e^z$ es o bien univalente o multivalente dependiendo del contexto; en la fórmula de Euler anterior, es fuertemente convencional leer $e^{i\pi}$ como univalente.