$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \tag{1}$$ pero a partir de la famosa fórmula $$e^{i\pi} = -1$$ tenemos $$i\pi = \ln (-1)$$
En lugar de utilizar la fórmula $(1),$ ¿no estás simplemente aplicando $\ln$ en ambos lados y luego aplicando la fórmula $$\ln e^z=z\,?$$ Desafortunadamente, esta fórmula no es generalmente aplicable para $z$ complejos; de hecho, $$\ln (-1)=i\pi +i2k\pi.$$
por lo tanto para todo real y no nulo a podremos tener: $$\ln(|a|\frac{a}{|a|}) = \ln(|a|) + \ln(\frac{a}{|a|}) $$
Desafortunadamente, la fórmula $$\ln z_1z_2=\ln z_1+\ln z_2$$ tampoco es generalmente aplicable para $z$ complejos.
por ejemplo para a negativo tenemos: $$\ln (a) = \ln(|a|) + i\pi$$
De hecho, por la definición general de $\log,$ para $a<0,$ $$\ln (a)=\ln(-a) + i\pi +i2k\pi.$$
Comentario del OP:
sí no presté atención a eso. de hecho, ya que $\exp(iz)=\exp(i(z+2π))$ ¡puede tener infinitos valores!
De hecho, $\exp(z)$ típicamente denota una función univalente, mientras que $e^z$ es o bien univalente o multivalente dependiendo del contexto; en la fórmula de Euler anterior, es fuertemente convencional leer $e^{i\pi}$ como univalente.
