Estoy preguntándome si hay un fundamento de las matemáticas donde no sean los conjuntos o "objetos parecidos a conjuntos" (como los objetos de un topos adecuado como en ETCS) la noción primitiva, sino más bien listas. Estas listas (también conocidas como secuencias, tuplas, ...) deberían ser objetos matemáticos denotados como $[a_1,a_2,\dotsc]$ con información sobre en qué posición se encuentra un elemento $a_i$, y por supuesto los elementos pueden aparecer varias veces. La longitud de una lista no tiene que ser finita, pero si ayuda a responder la pregunta siéntase libre de hacer esta suposición, respondiendo así la pregunta en finitismo. En general, deberían estar indexadas por (una equivalente de) números ordinales.
La pregunta está parcialmente motivada por la observación de que en muchos lenguajes de programación las listas en realidad son más comunes y también los componentes básicos de objetos más complejos. Aquí, los conjuntos a menudo se ven como derivados de listas o listas especiales, es decir, listas en las que el orden no importa y en las que ningún elemento aparece dos veces. En las bases teóricas de conjuntos con las que estoy familiarizado, es al revés: las listas son conjuntos especiales. Entonces mi pregunta es básicamente si podemos darle la vuelta a este paradigma y ver las listas como la noción primaria y construir matemáticas en torno a ella?
Tal vez no utilicé los términos de búsqueda correctos, y seguramente no soy un experto en fundamentos de matemáticas, pero no puedo encontrar ningún enfoque así. Y me resulta difícil crear algo por mi cuenta, porque cada axioma para las listas que se me ocurre implica objetos parecidos a conjuntos al final. Se siente como si la teoría de conjuntos (y por supuesto la teoría de categorías, pero aquí también tenemos conjuntos de objetos etc. por lo que esto no nos saca del paradigma) permeara cada pensamiento.
Por ejemplo, ¿cuáles son los índices de los elementos de la lista, o cómo se comportan, cuando no se nos permite hablar de conjuntos y por lo tanto de números ordinales? ¿Cómo podemos siquiera formular que cada lista y cada posición produce un elemento sin hablar de mapas? La salida "fácil" es definir conjuntos como listas especiales como se mencionó anteriormente y escribir los axiomas ZFC en términos de estas listas especiales - pero por supuesto sería mucho más satisfactorio desarrollar algo que no simplemente use ZFC como un paso intermedio.
Soy consciente de que toda la idea podría no funcionar en absoluto. En ese caso, también se agradece una respuesta explicando por qué no funciona.
Solo para darle visibilidad adicional al comentario de Andreas Blass: Oliver Deiser ha desarrollado una teoría así, llamada Axiomatic List Theory, en su Habilitationsschrift (en alemán), de la cual se ha publicado un extracto también (en inglés).
