Demostrar la categoría modelo de complejos de cadenas

Question

En la categoría de modelos de complejos de cadenas se define una cobración como un mapa de cadenas $M\to N$ tal que para cada $k>0$ el mapa $f_k:M_k\to N_k$ es un monomorfismo con un módulo proyectivo $R$ como su conúcleo, y una bración si para cada $k>1$ el mapa $f_k:M_k\to N_k$ es un epimorfismo. Las equivalencias débiles son cuasiequivalencias.

Ahora quiero demostrar que las cofibraciones tienen la LLP con respecto a las fibraciones triviales. Así que observa el siguiente diagrama

$\require{AMScd} \begin{CD} A @>{g}>> X;\\ @V{i}VV @VV{p}V \\ B @>{h}>> Y; \end{CD}$

donde $i$ es una cofibración y $p$ es una fibra trivial. En particular, $p$ es sobreyectiva en todos los grados.

Dwyer y Spalinsky definen el mapa grado por grado. En el grado cero: Por la suposición sobre $i$, la imagen se divide en $A_0\oplus P_0$ donde $P_0$ es proyectivo. Ahora define el levantamiento $f$ en $P_0$ como cualquier levantamiento del mapa $p$ y define el levantamiento como $g_0$ en $A_0$.

Mi pregunta: ¿Por qué se cumple la relación $g_0=f_0\circ i_0$? Esto tiene sentido si la composición de $i_0$ con el isomorfismo de $B_0\cong A_0\oplus P_0$ es la inclusión, pero ¿por qué se cumple esto?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Eso es justo lo que quieres decir con la división de imágenes. $i_0$ es un monomorfismo dividido, por lo que hay una estructura de biproducto en $B_0$, canónica hasta una elección de división, cuya inclusión en $A_0$ es $i_0$ y cuya proyección en $P_0$ es un mapa de conúcleo elegido. Debes probar esto si no te parece claro.