Doble Sumatoria: Necesito ayuda para manejar $ i \neq j $: $ \sum_{i=0 \to 7,\ j=1 \to 8,\ i\neq j} (8i + j) $

Question

[Q1]. ¿Puedo ? (escribir la misma suma como) : $$ \sum_{i=0, i \neq j}^7 \sum_{j=1}^8 (8i + j) \tag{1}$$

Intenté resolver la siguiente Sumatoria de la siguiente manera:

Sea i = m-1 entonces, $ \sum_{i=0,\ i \neq j}^7 $ se convierte en $\sum_{m=1,\ j\neq m-1}^8 $

Ahora aplicando el cambio de base en la ecuación (1) es decir $ \sum_{i=0, i \neq j}^7 \sum_{j=1}^8 (8i + j) $ se convierte $$ \sum_{m=1,\ j\neq m-1}^8 \sum_{j=1}^8 \Big(8(m-1) + j \Big) $$

[Q2]. ¿Podemos hacer el siguiente paso? ¿Por qué regla?

$$\text{Arriba}= \sum_{m=1,\ j=1, \ j\neq m-1}^8 (8m - 8 +j) \\ = (\sum_{m=1,\ j=1, \ j\neq m-1}^8 8m )- (\sum_{m=1,\ j=1, \ j\neq m-1}^8 8) + (\sum_{m=1,\ j=1, \ j\neq m-1}^8 j) \\ = 8\ \Big(\sum_{m=1}^8 m \Big)- 8 \ \Big(\sum_1^8 1 \Big) + \Big(\sum_{j=1}^8 j\Big) \\ = 8 \Big( 8. \frac{8+1}{2} \Big) - 8(8)+ \Big( 8. \frac{8+1}{2} \Big) \\ =260 $$

[Q3]. ¿No necesitamos manejar $ i \neq j $ ? Si es así, ¿en qué situación importa $ i \neq j $ y cómo? Por favor explique qué pasa si $ i ==j $ entonces ?

Por favor aclare mi concepto respondiendo a mis 3 preguntas anteriores (Q1, Q2 y Q3).

Answer 1

Para tu primera pregunta, la respuesta es sí, de hecho puedes cambiar tu suma exterior sustituyendo $m-1$ por $j$ y cambiando los límites de esa suma.

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Sin embargo, no puedes realizar el paso indicado en tu segunda pregunta. Considera, por ejemplo, tu suma intermedia. Esa suma es sobre todos los pares $(m, j)$ que satisfacen el predicado $$ P(m, j) = (1\le m\le 8) \land (1\le j\le 8) \land (j\ne m-1) $$ Habrá $64-8 = 56$ términos en esta suma. El primer paso en tu argumento fue correcto: $$ \sum_{P(m, j)} 8 = 8\left(\sum_{P(m, j)} 1\right) $$ pero tu siguiente paso no lo fue, ya que $$ \sum_{P(m,j)} 1 \ne \sum_1^8 1 $$ Para ver esto, solo observa que la suma de la izquierda tiene 56 términos y la suma de la derecha solo tiene 8.

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Finalmente, una técnica útil para problemas como este es ignorar por el momento los términos diagonales excluidos, sumar todos los términos y luego restar los excluidos. Usando tu idea del tablero de ajedrez, notaste que los cuadros en el tablero de ajedrez contienen los números $1, \dots , 64$ por lo que la suma de todas las entradas es $$ \frac{64\cdot65}{2} = 2080 $$ Ahora todo lo que tenemos que hacer es restar la suma de los 7 elementos diagonales en las posiciones $$ (k-1, k) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (7, 6), (8, 7) $$ donde los valores son $9, 18, 27, 36, 45, 54, 63$. La suma de estos es 252, por lo que la respuesta al problema es $2080-252=1828$.

Answer 2

Vamos paso a paso.

$\begin{align} \sum_{\substack{0 \le i \le 7 \\ 1 \le j \le 8 \\ i \ne j}} (8 i + j) &= \sum_{\substack{0 \le i \le 7 \\ 1 \le j \le 8}} (8 i + j) - \sum_{\substack{0 \le i \le 7 \\ 1 \le j \le 8 \\ i = j}} (8 i + j) \\ &= 8 \sum_{\substack{0 \le i \le 7 \\ 1 \le j \le 8}} i + \sum_{\substack{0 \le i \le 7 \\ 1 \le j \le 8}} j - \sum_{1 \le i \le 7} 9 i \\ &= 8 \cdot 8 \sum_{0 \le i \le 7} i + 8 \sum_{1 \le j \le 8} j - 9 \sum_{1 \le i \le 7} i \\ &= 8 \cdot 8 \cdot \frac{7 (7 + 1)}{2} + 8 \cdot \frac{8 (8 + 1)}{2} - 9 \cdot \frac{7 (7 + 1)}{2} \\ &= 1828 \end{align}$

Aquí usamos el hecho de que se pueden separar los casos excluidos de la suma, que la suma es lineal (y por lo tanto se puede separar en la suma de los términos), que sumar sobre un índice que no afecta al término es simplemente multiplicar por el número de términos, y finalmente que

$$ \sum_{0 \le k \le n} k = \frac{n (n + 1)}{2} $$

Answer 3

P1 sí puedes.

P2 sí puedes.

P3 necesitas restar todas las opciones de j para que sea i. Necesitas cubrir todas las i en la sigma donde j===I como esto:

Sigma de m de 1 a 8 que divide (8m-8+j) porque m-1= j >>> (8m-8+m-1) (9m-9)