Demostrando por inducción en $n$ que $\sum \limits_{k=1}^{n} (k+1)2^{k} = n2^{n+1}$.

Question

De acuerdo, hasta ahora esto es lo que tengo.

$$\sum_{k=1}^n (k+1)2^{k} = n2^{n+1} $$

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Caso Base: ($n = 1$)

LHS:

$\sum \limits_{k=1}^n (k+1)2^{k} = (2)2^{1} = 4 $

RHS:

$\ n2^{n+1} = 1(2^{2}) = 4 $

LHS = RHS

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Caso Inductivo:

LHS para $n+1$

$\sum \limits_{k=1}^n (k+1)2^{k} + ((n+1) +1)2^{n+1} $

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No estoy seguro de cómo continuar a partir de aquí.

Soy un principiante en inducción y esto es lo más lejos que pude llegar con mis apuntes.

Supongo que debo usar la hipótesis de inducción, pero no estoy seguro de cómo funciona.

Agradecería si pudieras explicar tus pasos y la lógica detrás de ellos.

Answer 1

Sugerencias:

Siempre es una muy buena idea escribir, de manera muy clara, tres cosas en una prueba de inducción:

• Tu caso base
• Tu hipótesis inductiva (el caso que asumes que es válido)
• Lo que necesitas probar en tu paso de inducción (el caso $n+1$ si la hipótesis es el caso $n$)

Otra buena idea para la inducción es recordar siempre que esta "hipótesis inductiva" es clave en todo el lío, básicamente significa "el caso anterior implica el siguiente, lo cual con el caso base nos permite probar infinitos casos". En otras palabras, necesitas hacer todo lo posible para tratar de hacer que tu hipótesis inductiva sea aplicable - en una demostración como esta, quieres manipular tu caso $n+1$ para revelar el caso $n$. Y luego, dado que asumes que el caso $n$ es válido, puedes sustituir valores según sea necesario, y usar eso para intentar probar el caso $n+1$.

También cometiste algunos errores en tu ecuación $n+1$ lo cual llevó a problemas. Por lo general, si asumes que el caso $n$ es válido, simplemente reemplazas cada $n$ con $n+1$ en el paso inductivo cuando quieras ver lo que necesitas demostrar.

Eso reitera la importancia de escribir claramente las tres cosas.

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Solución:

Supongamos que el caso base que das en el post original es válido. Si tomamos como hipótesis inductiva que

$$\sum_{k=1}^n (k+1)2^k = n2^{n+1}$$

entonces queremos mostrar en nuestro paso de inducción que

$$\sum_{k=1}^{n+1} (k+1)2^k = (n+1)2^{n+1+1} = (n+1)2^{n+2}$$

(¡Simplemente reemplaza todos los $n$'s con $n+1$ aquí!) Notamos: podemos dividir la suma en la suma de $1,2,...,n$ y básicamente "extraer" el término $n+1$ por sí solo:

$$\sum_{k=1}^{n+1} (k+1)2^k = (n+1+1)2^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^k = (n+2)2^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^k$$

Invocando nuestra hipótesis inductiva y haciendo algunos factoreos, obtenemos

$$\begin{align} (n+2)2^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^k &= (n+2)2^{n+1}+n2^{n+1}\\ &=2^{n+1}(2n+2) \\ &=2^{n+1}\cdot 2 (n+1)\\ &= 2^{n+2}(n+1) \end{align}$$

completando la prueba.

Answer 2

$$\begin{align} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (k+1)2^k & = \sum\limits_{k=1}^{n} (k+1)2^k + (n+2) 2^{n+1}. \\ & = n2^{n+1} + (n+2)2^{n+1}. \\ & = (2n+2)2^{n+1}. \\ & = (n+1)2^{n+2}. \end{align}$$

Probando el resultado para $n+1.$