Demostración de la existencia de una incrustación planar única

Question

Demuestra que hay un embebido plano único en el cual cada vértice tiene grado 4 y cada cara tiene grado 3.

Es fácil dibujar un grafo plano de esta forma, pero ¿cómo demostrar que el embebido es único? El libro de texto no tiene una solución.

Answer 1

La fórmula de los poliedros de Euler $v+f=e+2$, junto con $2e=4v$ y $2e=3f$ da una solución única $v=6, e=12, f=8$.

Arregla una cara y sus vértices $a, b, c$. Tiene tres caras vecinas, lo que da lugar a tres vértices más $d, e, f$. Estos deben ser todos diferentes entre sí y diferentes de $a, b, c$ ya que cualquier coincidencia destruiría una de las condiciones dadas (¡verificar!). Ya hemos encontrado los $6$ vértices, y también $9$ de los bordes. Más bordes solo pueden dibujarse entre $d, e, f$ porque $a, b, c$ ya tienen grado $4$ (ahora que sabemos que $d, e, f$ son distintos). Entonces debemos agregar todos los bordes $de, ef, fd$ y hemos terminado.

Answer 2

Usa la fórmula de Euler $F-E+V=2$

Nótese que cada cara tiene tres bordes, cada borde limita con dos caras de manera que $E=\cfrac{3F}2$

De manera similar, cada vértice se encuentra con cuatro bordes, cada uno de los cuales conecta dos vértices, por lo que $E=\cfrac {4V}2=2V$

Sustituyendo encontramos que $E=12, V=6, F=8$

Esto reduce considerablemente el número de casos, y la prueba a partir de ahí no es difícil.

Answer 3

El problema proviene de un libro de texto que acaba de clasificar los gráficos platónicos. ¡Simplemente puedes argumentar que el gráfico en cuestión es platónico y por lo tanto se clasifica en esa categoría!