Es imposible.
Mostraremos esto exhibiendo un subconjunto del disco grande que los discos más pequeños no pueden cubrir más del $99.91\%$ incluso si contamos las coberturas con multiplicidad, lo cual es mucho más fácil de verificar. Específicamente, elegiremos un conjunto de cuatro anillos extremadamente delgados centrados alrededor del origen, ajustando sus grosores relativos para que la demostración de la imposibilidad funcione. También reescalamos para que el disco central tenga un radio de $1$ y los discos más pequeños tengan radios en el conjunto $R = \{1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3},\ldots,1/\sqrt{7}\}$.
Por la Ley de los Cosenos, la fracción de un anillo centrado en el origen de radio $x$ cubierto por un disco de radio $r$ cuyo centro está a una distancia $d$ del origen es
$$\frac{\arccos\left(\frac{d^2+x^2-r^2}{2dx}\right)}{\pi}$$
donde limitamos la salida de $\arccos()$ si su entrada está fuera del rango $[-1,1]$.
Si observamos $x=1$, es decir, el perímetro del disco, podemos observar la fracción de perímetro cubierta por cada disco como función de $d$:
![enter image description here]()
Sumando los máximos de estas fracciones para cada $r\in R$ nos da una fracción total de cobertura de $1.0173$, lo cual aún no descarta las posibilidades pero sugiere que no tenemos mucho margen para alejarnos del perímetro.
Generalizando un poco más, agregaremos tres anillos más, por lo que observaremos $X =[x_1,x_2,x_3,x_4=1]$. Luego ponderaremos estos anillos por $W = [w_1,w_2,w_3,w_4]$, donde normalizaremos $W$ para que sume $1$. Si podemos encontrar valores de $X$ y $W$ tales que
$$\sum_{r\in R}\max_{d\in[0,1+r]}\left(\sum_{i=1}^4\frac{w_i}{\pi}\arccos\left(\frac{d^2+x_i^2-r^2}{2dx_i}\right)\right) < 1$$
entonces sabremos que el problema es imposible, ya que en cualquier solución válida la suma de las fracciones cubiertas a lo largo de cada anillo (y por lo tanto cualquier suma ponderada de las mismas) necesitaría exceder 1. (También podríamos pensarlo como usando una suma con peso igual en una región 2D, donde convertimos cada anillo en un anillo de espesor $\epsilon w_i/x_i$ - para un $\epsilon$ suficientemente pequeño, esto tendrá un comportamiento arbitrariamente cercano al ajuste anterior.)
Alimenté esta función en scipy.optimize.minimize con la restricción de que todos los pesos sean no negativos y arrojó la solución $X=[0.05,0.2384,0.3932,1], W=[0.01785, 0.04577, 0.02912, 0.90725]$. Con estos parámetros, la suma ponderada máxima es alrededor de $0.999005$. Los puntajes ponderados para cada disco como función de $d$ están graficados a continuación:
![enter image description here]()
