Breve problema sobre el uso de la derivada de Radon-Nikodym

Question

Supongamos que $\mu$ y $\nu$ son medidas tales que $\nu(\Omega) = 2$. Sea $f$ la derivada de Radon-Nikodym de $\mu$ con respecto a $\mu + \nu$. Encuentra $\nu(\{x: f(x) < 1\})$

Sea $F = \{x: f(x) \geq 1\}$. Tenemos por el teorema; $$\mu(F) = \int_F f d (\mu+\nu)$$, pero tengo problemas para separar el $d(\mu+\nu)$ - ¿podemos hacerlo de la manera habitual? ¿Por qué?

Answer 1

Dado que $\mu(E) + \nu (E) = \displaystyle \int_E d(\mu + \nu)$ para cualquier conjunto medible $E$ tienes que $$ \nu(E) = \int_E (1-f) \, d(\mu + \nu).$$ Entonces $$\nu(\{f \ge 1\}) = \int_{\{f \ge 1\}} (1-f) \, d (\mu + \nu) \le 0$$ de modo que $$\nu(\{f \ge 1\}) = 0.$$ Así $$\nu(\{f < 1\}) = 2.$$