Encuentra el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo.

Question

Disculpa el dibujo pobre.

$\triangle CDE$ es un triángulo equilátero inscrito en un círculo, con longitud de lado $16$. Sea $F$ el punto medio de $DE$. Los puntos $G$ y $H$ están en el círculo de manera que $\triangle FGH$ es equilátero. Encuentra la longitud del lado de $\triangle FGH$ y exprésala como $a\sqrt{b}-c$ donde $a, b, c$ son enteros positivos.

Mi intento

$$\theta \text{ en el Triángulo Grande } = \theta \text{ en el Triángulo Pequeño } = 60^{\circ}$$

$$(\text{lado del Triángulo Grande}) \cdot \sin 60^{\circ} + (\text{lado del Triángulo Pequeño}) \cdot \sin 60^{\circ} = 2\cdot(\text{radio del círculo})$$

Resolviendo para el lado pequeño, obtuve $\dfrac{64}{3}-16$, lo cual no coincide con la forma requerida.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esta respuesta puede que no sea la más simple, pero es directa.

Particularicé el problema haciendo que un lado del triángulo equilátero grande fuera el segmento entre los puntos $(-8,0)$ y $(8,0)$. Luego, la geometría simple nos dice que el tercer vértice está en $(8\sqrt{3},0)$, el circumcentro del triángulo está en $A(0,\dfrac{8\sqrt{3}}3)$, y el radio de la circunferencia circunscrita es $\dfrac{16\sqrt{3}}3$.

La ecuación de la circunferencia circunscrita es entonces

$$x^2+\left(y-\frac{8\sqrt{3}}3\right)^2=\left(\frac{16\sqrt{3}}3\right)^2$$ $$x^2+\left(y-\frac{8\sqrt{3}}3\right)^2=\frac{256}3$$

El lado del triángulo equilátero pequeño, $\overline{FH}$, está en la línea $y=-\sqrt{3}x$. Eso nos da dos ecuaciones en dos incógnitas para las coordenadas del punto $H$ que está en ambas la circunferencia y la línea. Sustituir la expresión de $y$ en la ecuación lineal en la ecuación cuadrática nos da una ecuación cuadrática para $x$:

$$x^2+\left(-\sqrt 3x-\frac{8\sqrt 3}3\right)^2=\frac{256}3$$ $$4x^2+16x-64=0$$ $$x^2+4x-16=0$$

Resolver esto nos da este valor positivo para $x$:

$$x=2\sqrt 5-2$$

El lado del triángulo equilátero pequeño es dos veces la coordenada $x$ del punto $H$, por lo que el lado del triángulo es

$$4\sqrt 5-4$$

La respuesta final a tu problema, dado que el lado es $a\sqrt b-c$, es

$$a=4, \quad b=5, \quad c=4$$

Verifiqué esta respuesta numéricamente con Geogebra, la fuente de mi diagrama de arriba, y mi respuesta coincide.

Answer 2

Sea $R$ el radio del círculo. Dibuja una perpendicular a cualquiera de los lados del gran triángulo equilátero $\triangle CDE$ para obtener un triángulo rectángulo con el cual podemos calcular la longitud del lado $L$ del triángulo equilátero grande de la siguiente manera $$L=2R\cos 30^\circ=16$$ $$\implies 2R\frac{\sqrt{3}}{2}=16 \implies \color{blue}{R=\frac{16}{\sqrt{3}}}$$ Sea $l$ la longitud del lado del pequeño triángulo equilátero $\triangle FGH$ y dibuja una perpendicular digamos $AM$, desde el centro $A$ pasando por $F$, hasta el lado opuesto $GH$ del pequeño $\triangle FGH$ Entonces tenemos $$AM=AF+FM=R\sin 30^\circ+l\sin 60^\circ=\frac{16}{\sqrt{3}}\frac{1}{2}+l\frac{\sqrt{3}}{2}=\color{red}{\frac{16+3l}{2\sqrt{3}}}$$ en el triángulo rectángulo $\triangle AMG$ aplicando el teorema de Pitágoras como sigue $$AG^2=AM^2+GM^2$$ $$\left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)^2=\left(\frac{16+3l}{2\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2$$ $$ 12l^2+96l-768=0$$ Resolviendo para $l$ como sigue $$l=\frac{-96\pm\sqrt{(96)^2-4(12)(-768)}}{2(12)}$$ $$l=\frac{-96\pm96\sqrt{5}}{24}=-4\pm 4\sqrt{5}$$ pero $l>0$ entonces el lado del pequeño triángulo equilátero $\triangle FGH$ $$l=\color{red}{4\sqrt{5}-4}$$ Ahora, comparando el lado $l$ con $\color{red}{a\sqrt{b}-c}$ obtenemos $$\color{blue}{a=4, b=5, c=4}$$

Answer 3

Al prolongar $\overline{FG}$ cruza $\overline{CE}$ en su punto medio, $F^\prime$ y vuelve a tocar el círculo en $G^\prime$. Claramente, $\overline{F^\prime G^\prime}$ es el lado de un triángulo congruente a $\triangle FGH$.

Defina $p := |\overline{DF}| = |\overline{EF}| = |\overline{FF^\prime}|$ (donde la última igualdad se sigue del Teorema del Segmento Medio del Triángulo) y $q := |\overline{FG}| = |\overline{F^\prime G^\prime}|$. Aplicando el Teorema del Punto de Potencia al punto $F$, tenemos

$$|\overline{DF}|\;|\overline{EF}| = |\overline{GF}|\;|\overline{G^\prime F}|$$ $$\to \quad p^2 = q ( p + q ) \quad \to \quad q^2 + p q - p^2 = 0 \quad \to \quad q = \frac{p}{2}\left( \sqrt{5} - 1 \right) \tag{$\star$}$$

(Nota que hemos tomado la raíz positiva de la ecuación cuadrática.)

Entonces, dado que $p=8$

$$q = 4(\sqrt{5}-1) = 4\sqrt{5}-4 \qquad\to\qquad (a,b,c) = (4,5,4)$$