¿Por qué podemos asumir compacidad en el teorema de Victor Klee?

Question

Sean $\ C $ y $\ C_1,...,C_n$ conjuntos convexos y cerrados en el espacio euclidiano tal que

1. $\ C \cap \bigcap^n_{i=1,i\neq j} C_i \neq\emptyset $ para $ j=1,2,...,n$

2. $\ C \cap \bigcap^n_{i=1} C_i = \emptyset$

Entonces

$C \nsubseteq \bigcup^n_{i=1} C_i $ .

La prueba comienza asumiendo que $\ C $ y $\ C_1,...,C_n$ son todos compactos. De lo contrario, podemos reemplazar $ C$ por el conjunto A = $ Conv \{y_j : j=1,2,...n \}$ y $ y_j \in C \cap \bigcap^n_{i=1,i\neq j} C_i $ y cada $ C_i$ puede ser reemplazado por $ B_i = C_i \cap A$

No estoy seguro de entender este argumento, porque puedo pensar en un contraejemplo:

Sea $ C \subseteq \mathbb{R} = \{x: x \geq 4 \}$ y $C_1 = \{x: x \geq 7 \} $

entonces $ Conv\{y_1\} = C_1 = \{x: x \geq 7 \} $ y no es un conjunto compacto. ¿Me estoy perdiendo algo?

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que la condición $C \cap \bigcap^n_{i=1,i\neq j} C_i \neq\emptyset$ no se puede cumplir si $n=1$.

Para $n \geq 2$, $y_j$ es un único elemento fijo de $C \cap \bigcap^n_{i=1,i\neq j} C_i$. Por lo tanto, $A$ es la envoltura convexa de un conjunto finito y, por lo tanto, compacto.

En su ejemplo, tenemos $Conv \lbrace y_ 1 \rbrace = \lbrace y_1 \rbrace.