Encontrando el valor de $(bc-ad)(ac-bd)(ab-cd)$

Question

Sean $a,b,c,d$ cuatro enteros distintos no nulos de tal manera que $a+b+c+d = 0$. Se sabe que el número

$$M = (bc - ad)(ac - bd)(ab-cd)$$

se encuentra estrictamente entre $96100$ y $98000$. Determina el valor de $M$.

Intenté expandir la expresión, así como utilizar AM-GM en ella, pero sin éxito. Cualquier ayuda sería apreciada. ¡Gracias!

(Fuente: Olimpiada Matemática de Singapur 2013, Sección Abierta, Primera Ronda, Pregunta 24)

Answer 1

Después de la sustitución de $a = -b-c-d$, tenemos $M = (b+c)^2(b+d)^2(c+d)^2.

Answer 2

Necesitamos decir un poco más después de la respuesta de Erik. Tenemos $$(b+c)(b+d)(c+d)=\pm311,\,\pm312,\,\pm313\ .$$ Ahora la suma de los tres números $b+c$, $b+d$, $c+d$ es par, por lo que al menos uno de los números debe ser par. Por lo tanto, la única posibilidad es que $$(b+c)(b+d)(c+d)=\pm312$$ y tenemos $$M=312^2\ .

Nota: no podemos descartar de inmediato la posibilidad de que el producto de los tres números sea primo, porque podrían ser $1,1,p$.

Otro (posiblemente) punto interesante. Por supuesto, podemos obtener la identidad de Erik por álgebra simple, pero la forma de $M$ sugiere determinantes, así que aquí hay un método alternativo. Usando el hecho de que $a+b+c+d=0$ y sumando columnas, tenemos $$bc-ad=-\Bigl|\matrix{a&b\cr c&d\cr}\Bigr| =-\Bigl|\matrix{a+b&b\cr c+d&d\cr}\Bigr|=-\Bigl|\matrix{-(c+d)&b\cr c+d&d\cr}\Bigr|$$ Ahora sacando un factor de $-(c+d)$ y reduciendo filas, $$bc-ad=(c+d)\Bigl|\matrix{1&b\cr-1&d\cr}\Bigr| =(c+d)\Bigl|\matrix{1&b\cr0&b+d\cr}\Bigr| =(c+d)(b+d)\ ,$$ y de manera similar para los otros.