El profesor afirma que esta prueba para $\frac{\csc\theta-1}{\cot\theta}=\frac{\cot\theta}{\csc\theta+1}$ está incorrecta. ¿Por qué?

Question

El maestro de secundaria de mi hijo dice que su solución a esta demostración está mal porque no es "la manera correcta" y que hay que "empezar con un lado de la ecuación y demostrar que es igual al otro". Después de revisarlo, no estoy de acuerdo. Creo que su solución es correcta, aunque no sea "la manera correcta", lo que sea que eso signifique. Le pregunté a mi hijo cómo lo hizo: cruzó multiplicó la identidad dada, la simplificó a una igualdad conocida/obvia, y luego invirtió los pasos para la demostración. Esto fue un examen con calificación, y el maestro le dio cero en este problema.

¿Qué piensas sobre la solución de mi hijo? ¡Gracias!

Problema: demostrar la siguiente identidad trigonométrica \begin{align*} \frac{\csc(\theta)-1}{\cot(\theta)}&=\frac{\cot(\theta)}{\csc(\theta)+1}\ .\\ \end{align*} Solución: para todo $\theta$ real que no sea un múltiplo entero de $\pi/2$, tenemos \begin{align*} \cot^2(\theta)&=\cot^2(\theta)\\[8pt] \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}&=\cot^2(\theta)\\[8pt] \frac{1-\sin^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}&=\cot^2(\theta)\\[8pt] \csc^2(\theta)-1&=\cot^2(\theta)\\[8pt] \frac{\csc^2(\theta)-1}{\cot(\theta)}&=\cot(\theta)\\[8pt] \frac{\csc(\theta)-1}{\cot(\theta)}&=\frac{\cot(\theta)}{\csc(\theta)+1} \end{align*}

Answer 1

Al menos me habría saltado la primera línea y empezado con $\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \cot^2\theta.$

Una razón por la cual un instructor podría tener reservas sobre este argumento es la frecuencia con la que los estudiantes hacen esto en la dirección opuesta, es decir, ellos escriben $$ \require{cancel} \xcancel{ \begin{align} \frac{\csc(\theta)-1}{\cot(\theta)}&=\frac{\cot(\theta)}{\csc(\theta)+1} \\[8pt] \frac{\csc^2(\theta)-1}{\cot(\theta)}&=\cot(\theta)\\[8pt] \csc^2(\theta)-1&=\cot^2(\theta)\\[8pt] \frac{1-\sin^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}&=\cot^2(\theta)\\[8pt] \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}&=\cot^2(\theta)\\[8pt] \cot^2(\theta)&=\cot^2(\theta) \end{align} } $$ Esto sería lógicamente correcto si uno escribiera "Esta igualdad es verdadera si la de abajo es verdadera." en cada línea. Pero se debe ser claro sobre la dirección correcta de "Si ... entonces ...". Sin esas palabras explícitas, la secuencia de igualdades puede ser interpretada como "Si ... entonces ..." en orden opuesto.

A menudo lo que los instructores quieren es algo así: $$ \frac{\csc\theta-1}{\cot\theta} = \cdots\cdots\cdots\cdots = \frac{\cot\theta}{\csc\theta+1}. $$ en la cual cada signo de "igual" afirma la igualdad de cosas que ya se sabe que son iguales.

Yo daría crédito completo a la respuesta que tu hijo escribió si cada línea tuviera una breve explicación de cómo se deduce de la línea anterior. Por ejemplo, él podría escribir esto:

$$ \cot^2\theta = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1-\sin^2\theta}{\sin^2\theta} = \csc^2\theta-1. $$ Luego, dividiendo ambos lados de la igualdad $\cot^2\theta = \csc^2\theta-1$ por $\cot\theta,$ obtenemos $$ \cot\theta = \frac{\csc^2\theta-1}{\cot\theta}. $$ Finalmente, dividiendo ambos lados de eso por $\csc\theta+1$ obtenemos $$ \frac{\csc\theta-1}{\cot\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta+1}. $$

Nota que escribí palabras arriba, no solo notación matemática. Las respuestas bien escritas hacen eso, excepto quizás en casos bastante simples.

Answer 2

Existen múltiples motivaciones para escribir demostraciones: tal vez para pasar un examen (desde el punto de vista de un estudiante regular), o tal vez para probar la comprensión (desde la perspectiva de un profesor). Aquí me gustaría resaltar otra motivación importante: disfrutar el proceso de descubrimiento.

Aquí hay una demostración geométrica de la identidad trigonométrica. No es práctica para usar en un examen, pero hace que los símbolos abstractos sean más concretos. Crear varias demostraciones del mismo resultado puede ayudar a desarrollar la intuición y permitir apreciar las conexiones entre diferentes áreas de las matemáticas.

Enunciado del problema: $$\frac{\csc\theta-1}{\cot\theta}=\frac{\cot\theta}{\csc\theta+1}$$

En esta imagen que involucra el círculo unitario, construimos algunas longitudes que corresponden a expresiones en el enunciado del problema. Empezamos con $\theta$ y $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$.

Definiciones trigonométricas básicas llevan a las longitudes azul y naranja. A través de algo de búsqueda de ángulos (o un teorema del círculo), obtenemos el ángulo $\color{red}{\text{rojo}}$. Luego, más búsqueda de ángulos nos da:

Los ángulos $\color{red}{\text{rojos}}$ son iguales $\implies\triangle ADB\sim \triangle BDE \implies \frac{AD}{DB}=\frac{DB}{ED}\iff$ el enunciado del problema.

Answer 3

Supondría que el profesor consideró una respuesta inválida, porque tu hijo asumió que la igualdad es cierta antes de demostrarlo, si eso tiene sentido. Esto es obviamente una suposición, pero en la mente del profesor, lo que hizo no fue "demostrar" que la igualdad es cierta, sino simplemente "verificar" que lo es. En otras palabras, lo que el profesor probablemente quería es que los estudiantes obtuvieran la respuesta en el lado derecho usando exclusivamente el lado izquierdo. Más explícitamente, aunque los estudiantes sabían cómo debería verse el resultado final, deberían haber fingido que no lo sabían, manipulado el lado izquierdo y ¡exclamado "¡Eureka! ¡Es cierto!" cuando obtuvieran el lado derecho.

Con esa lógica, todo lo que necesitaba hacer era multiplicar el numerador y el denominador por $\csc(\theta)+1$, lo que inmediatamente produce el resultado deseado después de las simplificaciones.

Answer 4

Todos estos métodos de demostración son válidos y deben ser calificados como tal (a menos que la pregunta específicamente dijera que se use un método en particular).

Método $1$ - Comience con un lado, simplifique al otro.

$$\frac{\csc(\theta)-1}{\cot(\theta)}=\frac{(\csc(\theta)-1)(\csc(\theta)+1)}{\cot(\theta)(\csc(\theta)+1)}=\frac{\csc^{2}(\theta)-1}{\cot(\theta)( \csc(\theta)+1)}=\frac{\cot^{2}(\theta)}{\cot(\theta)(\csc(\theta)+1)}$$$$=\boxed{\frac{\cot(\theta)}{\csc(\theta)+1}}$$

Método $2$ - Comience con la identidad afirmada, simplifique a una identidad conocida.

$$\frac{\csc(\theta)-1}{\cot(\theta)}=\frac{\cot(\theta)}{\csc(\theta)+1}\Longleftrightarrow(\csc(\theta)-1)(\csc(\theta)+1)=\cot^{2}(\theta)\Longleftrightarrow\csc^{2}(\theta)-1$$$$=\cot^{2}(\theta)\ \blacksquare$$

Método $3$ - Comience con una identidad conocida, conviértala en la identidad afirmada (lo que tu hijo hizo):

$$\csc^{2}(\theta)-1=(\csc(\theta)+1)(\csc(\theta)-1)=\cot^{2}(\theta)\Longrightarrow\boxed{\frac{\csc(\theta)-1}{\cot(\theta)}=\frac{\cot(\theta)}{\csc(\theta)+1}}$$

Dicho esto, quizás el profesor restó puntos debido a la longitud de la demostración de tu hijo, que fue más indirecta de lo que podría haber sido. Por ejemplo, podría haber comenzado con una identidad pitagórica en lugar de comenzar con una identidad '$x=x$' y usar una identidad pitagórica, y haber dado unos pocos pasos menos en simplificar hacia la identidad deseada.

Answer 5

Es decepcionante ver que el profesor cree que solo hay una forma de demostrar identidades trigonométricas. De hecho, hay varios enfoques, todos igualmente válidos y útiles en diferentes circunstancias. A veces es más elegante 'empezar con un lado y demostrar que es igual al otro', pero una prueba es una prueba.

Su hijo en realidad está usando una técnica bastante avanzada, donde muestra que una afirmación $P$ implica otra afirmación $Q$, y luego muestra que todos los pasos son invertibles, lo que significa que $P \iff Q$. Siempre que pueda demostrar que todos los pasos son efectivamente invertibles, este es un método muy útil. Veamos su método con más detalle. Comenzó asumiendo que $$ \frac{\csc \theta - 1}{\cot\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta+1} $$ y trabajando a partir de ahí. Si multiplicamos cruzadamente ambos lados, veamos qué sucede: \begin{align} &\frac{\csc \theta - 1}{\cot\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta+1} \\[6pt] \implies & (\csc\theta-1)(\csc\theta+1) = \cot^2\theta \\[6pt] \implies & \csc^2\theta-1=\cot^2\theta \\[6pt] \implies & \frac{1-\sin^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} \\[6pt] \implies & \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} \\[6pt] \implies & \cot^2\theta = \cot^2\theta \, . \end{align} Ahora, intenta leer la prueba 'al revés'. ¿$\cot^2\theta = \cot^2\theta$ implica $$ \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} \, ? $$ ¿$\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}$ implica $$ \frac{1-\sin^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} \, ? $$ Sigue adelante. Si la respuesta a todas estas preguntas es 'sí', entonces hemos demostrado con éxito que $$ \frac{\csc \theta - 1}{\cot\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta+1} \iff \cot^2\theta = \cot^2\theta \, . $$ Y dado que el RHS es una identidad, el LHS también debe ser una identidad. Solo hay un pequeño inconveniente en esta prueba. Cuando vamos en dirección contraria, y concluimos que $$ (\csc\theta-1)(\csc\theta+1) = \cot^2\theta $$ implica $$ \frac{\csc \theta - 1}{\cot\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta+1} \, , $$ estamos asumiendo que tanto $\cot\theta$ como $\csc\theta + 1$ son distintos de cero. Pero, su hijo aborda directamente esto al declarar al comienzo de la prueba, 'para todo real $\theta$ que no sea un múltiplo entero de $\pi/2$...', lo que significa que esto nunca es un problema. Este tipo de atención al detalle es muy impresionante para un estudiante de secundaria.