¿Cómo reconocemos una partición de Markov?

Question

Estoy buscando teoremas que se puedan utilizar para mostrar que una partición topológica para un mapa expansivo dado es Markov. Aquí están las definiciones relevantes:

1. Sea $\phi\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ una aplicación $C^1$, sea $J\subseteq\mathbb{R}^m$ un conjunto compacto, y supongamos que $\phi(J) = J$.

2. Decimos que $\phi$ es expansivo en $J$ si existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $\|D[\phi^n]_x(v)\|>\|v\|$ para todo $x\in J$ y todo $v$ distinto de cero en $\mathbb{R}^n$.

3. Una partición topológica de $J$ es una colección finita $U_1,\ldots,U_k$ de conjuntos (relativamente) abiertos y disjuntos de $J$ cuyos cierres cubren $J.

4. Una partición topológica $U_1,\ldots,U_k$ de $J$ se llama una partición de Markov si satisface las siguientes condiciones:

   1. Para cada $i$ y $j$, o bien $\phi(U_i)\cap U_j = \emptyset$ o $U_j\subseteq \phi(U_i)$.
   2. Para cada secuencia $i_0,i_1,i_2,\ldots$, la intersección $\bigcap_{k=0}^\infty \phi^{-k}\bigl(\\,\overline{U_{i_k}}\\,\bigr)$ contiene a lo sumo un punto.

   (Estas condiciones garantizan que $\phi$ es semi-conjugado a un subshift de tipo finito.)

Mi pregunta es, ¿cómo podemos saber que una partición topológica dada $U_1,\ldots,U_k$ es Markov? Por ejemplo, supongamos que una partición satisface la condición (1) anterior para una partición de Markov, y que $\phi$ es expansivo en $J$ y biyectivo en cada $\overline{U_i}$. ¿Se deduce que $U_1,\ldots,U_k$ satisface la condición (2) anterior? Si no, ¿qué hipótesis adicionales se requieren?

Si ayuda, el $J$ en el que estoy interesado es el conjunto de Julia conectado para un mapa racional hiperbólico en la esfera de Riemann, y cada $U_i$ está conectado. Tengo una partición de Markov específica que quiero demostrar que es Markov, y preferiría simplemente citar algún teorema.

Answer 1

Si puedes demostrar algo como: $d(\phi^n(x),\phi^n(y))>(1+\delta)d(x,y)$ para todo $x$ y $y$ tales que $d(x,y)<\epsilon$, entonces sería suficiente mostrar que existe un $k$ tal que para todas las secuencias $i_0,i_1,\ldots,i_{nk-1}$, $\bigcap_{j=0}^{nk-1}\phi^{-j}\overline{U_{i_j}}$ tiene un diámetro a lo sumo $\epsilon$.

Si esta última condición no se cumple, entonces de todas formas la condición 2 no se cumplirá, por lo que esta es una condición necesaria.