¿Es el número de sumas diferentes monótono?

Question

Supongamos que tienes un conjunto $S$ que consiste en $n$ enteros diferentes. Sea $$W_k = \#\biggl\{x\in\Bbb Z\colon \text{existe } T \subseteq S,\, \#T=k,\, \sum_{a \in T} a = x\biggr\}.$$

¿Es siempre cierto que $W_\ell \leq W_k$ si $\ell \leq k \leq n/2$?

Answer 1

Un contraejemplo para la desigualdad exacta: $S = \{1,2,3,4,7,8,9,10\}$. Entonces $W_3 = 22$ (obtenemos los números $6, 7, \dotsc, 27$) y $W_4 = 21$ (obtenemos $10$, $34$, y los números $13, 14, \dotsc, 31$).