En Clases de conjugación del grupo alternante $A_n$

Question

En Dummit & Foote, página 131

Sea $K$ una clase de conjugación y supongamos que $K$ es un subconjunto de $A_n$.

1. Demuestra que si $\sigma$ pertenece a $S_n$, entonces $\sigma$ no conmuta con ninguna permutación impar si y solo si el tipo de ciclo consiste en enteros impares distintos.

2. Deduze que $K$ es una unión de dos clases de conjugación en $A_n$ si y solo si el tipo de ciclo de un elemento de $K$ consiste en enteros impares distintos.

[Pista: Supone primero que $\sigma$ pertenece a $S_n$ y no conmuta con ninguna permutación impar. Observa que $\sigma$ conmuta con cada ciclo en su propia descomposición de ciclo, por lo que cada ciclo debe tener longitud impar. Si dos ciclos tienen la misma longitud impar, encuentra un producto de transposiciones que los intercambie y conmute con $\sigma$. Por el contrario, si el tipo de ciclo de $\sigma$ consiste en enteros distintos, demuestra que $\sigma$ solo conmuta con el subgrupo generado por los ciclos en su descomposición de ciclo.]

el ejercicio número 21, utilicé las pistas para demostrar que los ciclos de la descomposición de ciclo de $\sigma$ deben tener una longitud impar, pero no sé cómo demostrar que el tipo de ciclo es distinto.

el texto dice encontrar una transposición que los intercambie y conmute con $\sigma$,

mi pregunta es, ¿intercambiar qué?!!!

¿qué significa esto?

¿alguien puede ayudar?

Answer 1

Pista para la parte 1: El producto de dos 3-ciclos $\sigma=(123)(456)$ conmuta con $\tau=(14)(25)(36)$. Esto se debe a que $\tau (123)\tau^{-1}=(456)$ y $\tau(456)\tau^{-1)=(123)$. La permutación $\tau$ es impar, porque tiene un número impar de transposiciones. Generalice para concluir que si una permutación tiene dos ciclos de igual longitud impar entonces conmuta con una permutación impar.

Pista para la parte 2: Recuerde que el tamaño de la clase de conjugación de un elemento $x$ en un grupo $G$ es $|G|/|C_G(x)|$. Aquí tenemos tanto $S_n$ como $A_n$ asumiendo el papel de $G$. Pero obviamente $C_{A_n}(x)=C_{S_n}(x)\cap A_n$, y $C_{S_n}(x)$ consiste ya sea de solo permutaciones pares (cuando la intersección con $A_n$ no cambia nada) o ...

Answer 2

Pista: a veces es difícil entender la idea general, y podría ser una buena idea tener un ejemplo en mente. Piensa en $A_4$. Los tipos de ciclo de los elementos en $A_4$ son: $1111$ (identidad), $22,13$. El único tipo de ciclo que consiste en enteros impares distintos es $13$. Es decir, $K$ es una unión de dos clases de conjugación en $A_4$ si $K$ tiene un elemento de la forma $(- - -)$. Ahora, puedes verificar (fácilmente) que los elementos $(123), (132),(124),(142),(234),(243),(134),(143)$ forman dos clases de conjugación en $A_4$.