Condiciones para que las raíces de un cuártico sean reales y dos sean coincidentes

Question

Queremos que las raíces de la cuártica siguiente sean reales y distintas, pero dos raíces deben ser iguales. Por ejemplo, las raíces deberían ser $a,b,c,c$ donde $a,b,c$ son Reales y distintas.

$$[x^2-2mx-4(m^2+1)][x^2-4x-2m(m^2+1)]$$

Tenemos que encontrar los valores de $m$ correspondientes a esta condición.

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Observé que el discriminante del primer cuadrático es positivo, y el discriminante del segundo cuadrático es $0$ cuando $m=-1$. Pero cuando $m=-1$, ¡entonces los dos cuadráticos tienen una raíz en común! Así que las raíces son $-4,1,1,1$. Esto no es lo que se busca.

Ahora creo que si encontramos la raíz común restando los cuadráticos, obtendremos el valor deseado de $m$. Al restar los cuadráticos obtuve:

$$(m-2)x = (m^2+1)(m-2)$$

Lo cual significa que o bien $m=2$ o $x=m^2+1. Aún así, ninguno lleva a la respuesta.

La respuesta es $m=3$.

Answer 1

Sea $f(x)=x^2-2mx-4(m^2+1),g(x)=x^2-4x-2m(m^2+1)$.

Además, sea $c\in\mathbb R$ la raíz doble de $f(x)g(x)$.

Tenemos tres casos para considerar:

Caso 1: $x=c$ es una raíz doble de $f(x)

Caso 2: $x=c$ es una raíz doble de $g(x)

Caso 3: $f(c)=g(c)=0

• Caso 1: Si $x=c$ es una raíz doble de $f(x)$, entonces tenemos que tener $(-2m)^2-4\times 1\times (-4(m^2+1))=0$, pero no hay tal $m\in\mathbb R.

• Caso 2: Si $x=c$ es una raíz doble de $g(x)$, entonces resolviendo $(-4)^2-4\times 1\times (-2m(m^2+1))=0$ da $m=-1$. Entonces, tenemos $f(x)=(x+4)(x-2),g(x)=(x-2)^2$ que no satisfacen nuestra condición.

• Caso 3: Si $f(c)=g(c)=0$, entonces de $0=f(c)-g(c)=-2(m-2)(c-m^2-1)$, tenemos $m=2$ o $c=m^2+1$. Si $m=2$, entonces $f(x)=g(x)$ lo cual no satisface nuestra condición. Si $c=m^2+1$, entonces por las fórmulas de Vieta, $x=-4$ es una raíz de $f(x)$, así que $f(-4)=0\implies m=-1,3$. Ya vemos que $m\not=-1$. Si $m=3$, entonces tenemos $f(x)=(x-10)(x+4),g(x)=(x-10)(x+6)$ que satisfacen nuestra condición.

Por lo tanto, la respuesta es $\color{red}{m=3}$.