Pregunta sobre el significado del resultado de dos vectores

Question

Acabo de aprender sobre la siguiente fórmula para calcular el resultado de 2 vectores $\vec{a} \text{ y } \vec{b}$.

$$|\vec{a} \pm \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \pm 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)}$$

Se supone que esta fórmula me dice la magnitud del resultado de dos vectores.

Luego, en una pregunta que estaba resolviendo, se me dio información de que cuando se suman dos vectores $\vec{P} \text{ y } \vec{Q}$, la magnitud del resultado es $15$.

En la solución de la pregunta, el autor eleva al cuadrado ambos lados de la fórmula anterior que di y obtiene la siguiente ecuación.

$$P^2 + Q^2 + 2PQ\cos(\theta) = 225$$

Mi pregunta es ¿qué significa el valor $225$, sé que la raíz cuadrada de eso es la magnitud del resultado, entonces ¿cuál es el cuadrado de eso?

Y en el lado izquierdo ¿qué significa $P^2$, ¿cómo se eleva al cuadrado un vector?

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

En toda verdad, los vectores no tienen realmente cuadrados en el sentido habitual de la palabra, sin embargo, si $\vec P$ es un vector entonces podemos tomar el producto interno de ese vector consigo mismo: $$\vec P\cdot\vec P=|\vec P|^2.$$ Donde $|\vec P|^2$ es el cuadrado de la magnitud o resultado del vector. Para una suma de vectores, podemos calcular el producto interno consigo mismo como: $$\begin{align} |\vec P+\vec Q|^2&=(\vec P+\vec Q)\cdot(\vec P+\vec Q)\\ &=\vec P\cdot(\vec P+\vec Q)+\vec Q\cdot(\vec P+\vec Q). \end{align} $$ Donde se ha usado la propiedad distributiva, es un ejercicio sencillo verificar la fórmula del autor a partir de aquí, dado el conocimiento de que el valor del producto interno puede definirse geométricamente como: $$\vec P\cdot\vec Q=|\vec P||\vec Q|\cos\theta,$$ donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\vec P$ y $\vec Q$.

Answer 2

La definición de $\textbf{p}^2$ es $\textbf{p}\cdot \textbf{p}$, por lo que es el cuadrado de su magnitud. ¿Quizás esto es lo que estás buscando?