Cociente de un grupo topológico de Hausdorff por un subgrupo cerrado

Question

Perdón si esta pregunta está por debajo del nivel de este sitio: He leído que el cociente de un grupo topológico Hausdorff por un subgrupo cerrado es nuevamente Hausdorff. He pensado en ello pero parece que no puedo entender por qué. ¿Es obvio? Un simple sí o no (con referencia si es posible) es todo lo que necesito.

Answer 1

De hecho, se cumple una afirmación aún más fuerte: Si $G$ es un grupo topológico y $H$ es un subgrupo (abstracto), entonces $G/H$ es Hausdorff si y solo si $H$ es cerrado (cf Bourbaki, Topología General, III.2.5, prop 13). No es difícil de probar.

Answer 2

Editar: A continuación, amplío mi respuesta original rudimentaria "Sí" como solicitó la comunidad.

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Sí. Sea $G$ el grupo y $H$ sea el subgrupo cerrado. El núcleo del mapa cociente $G \to G/H$ es igual a $\Delta^{-1}(H)$ donde $\Delta : G \times G \to G$ es la función continua $\Delta(x,y)= x- y$. Por lo tanto, el núcleo es cerrado. Según esto $G/H$ es Hausdorff.