Deje ${\mathbf{x}}(s)$ ser una curva en ${\mathbb{R}}^3$ natural con el parámetro $s$. Necesitaremos el siguiente lema, la prueba de que se encuentra al final de esta respuesta.
Lema: Seleccione un punto fijo ${\mathbf{y}}$. Entonces la curvatura $\kappa$ satisface
$$
\kappa \ge \left|\dot{\theta} + \frac{1}{r}\sin{\theta}\right|,
$$
donde $r = \lVert\mathbf{x} - \mathbf{y}\rVert$ $\theta$ es el ángulo entre la
la velocidad de $\dot{\mathbf{x}}$$\mathbf{x} - \mathbf{y}$.
Tome $\mathbf{y} = \mathbf{x}(0)$; a continuación,$r(0)=0$$\theta(0)=0$. La función de $r(s)$ es monótonamente creciente mientras $0 \le \theta < \pi/2$ (desde $\dot{r}(s) = \cos{\theta}$), por lo $\theta$ $\kappa$ puede ser considerado como una sola de las funciones con valores de $r$ hasta que punto. El lema anterior, a continuación, da
$$
\kappa(r) \ge \left|{\theta}'(r)\dot{r} + \frac{1}{r}\sin{\theta(r)}\right| = \left|{\theta}'(r)\cos{\theta(r)} + \frac{1}{r}\sin{\theta(r)}\right| = \left|\frac{1}{r}(r \sin\theta(r) )'\right|.
$$
Hasta el primer punto de inflexión del movimiento (donde la velocidad se convierte en perpendicular al radio), tenemos
$$
R\sin\theta(R) \le \int_{0}^{R} r \kappa(r) dr.
$$
Si la curvatura es estrictamente por debajo de un valor fijo (por ejemplo, $\kappa < K$), entonces la integral es menos de $\frac{1}{2}KR^2$$R>0$, y tenemos el resultado que
$$
\sin{\theta(r)} < \frac{1}{2}Kr
$$
para $r>0$. Un punto de inflexión llega cuando $\theta=\pi/2$; esta ecuación muestra que el primer como el punto de inflexión debe estar en un radio mayor que $2/K$, y, por tanto, la curva puede ser confinado dentro de una bola de diámetro $2/K$. Finalmente, el arclength antes de llegar a un determinado radio de $R$ está delimitado por
$$
\begin{eqnarray}
s(R) &=& \int_{0}^{R} \frac{ds}{dr}dr \\ &=& \int_{0}^{R} \frac{dr}{\cos\theta(r)} \\ &<& \int_{0}^{R} \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}K^2 r^2}} \\ &=& \frac{2}{K}\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}KR\right)
\end{eqnarray}
$$
para $R \le 2/K$. Llegamos a la conclusión de que cualquier curva contenida en el abierto de la unidad de la bola con la curvatura $\kappa < 1$ debe tener la longitud de $s(2) < 2\sin^{-1}(1) = \pi$. Por otra parte, esta obligado es ajustado, ya que un arco circular uniendo los puntos en $\pm (1-\epsilon^2)\hat{\mathbf{z}}$ y el punto en el $(1-\epsilon)\hat{\mathbf{x}}$ tiene una longitud de acercarse a $\pi$$\epsilon \rightarrow 0$.
La prueba del Lema:
Vamos a trabajar en coordenadas esféricas centradas en $\mathbf{y}$; a continuación,
$$
\begin{eqnarray}
{\mathbf{x}}
&=& r\hat{\mathbf{r}}, \\
{\dot{\mathbf{x}}}
&=& \dot{r}{\hat{\mathbf{r}}} + r\dot{\hat{\mathbf{r}}} \\
&=& \dot{r}{\hat{\mathbf{r}}} + r v_{\perp} \hat{\mathbf{v}}_{\perp}.
\end{eqnarray}
$$
Aquí $\hat{\mathbf{r}}$ es el vector unitario que va desde el origen a ${\mathbf{x}}$, e $\dot{\hat{\mathbf{r}}} = v_{\perp} \hat{\mathbf{v}}_{\perp}$ es su tasa de cambio. Debido a $\hat{\mathbf{r}}$ tiene longitud constante, tenemos $\hat{\mathbf{v}}_{\perp}\cdot \hat{\mathbf{r}} = 0$. Tomar el tiempo derivado de esto da
$$
0 = \dot{\hat{\mathbf{v}}}_{\asesino}\cdot \hat{\mathbf{r}} + \hat{\mathbf{v}}_{\asesino}\cdot \dot{\hat{\mathbf{r}}} = v_{\asesino} + \dot{\hat{\mathbf{v}}}_{\asesino}\cdot \hat{\mathbf{r}},
$$
que vamos a utilizar más adelante. Ahora, debido a $s$ natural parámetro, $$\lVert\dot{\mathbf{x}}\rVert^2 = \left(\dot{r}\right)^2 + \left(rv_{\perp}\right)^2 = 1;$$
por lo que podemos definir $\theta \in [0,\pi]$ tal que $\dot{r} = \cos{\theta}$$rv_{\perp} = \sin{\theta}$. La velocidad y la aceleración convertido en
$$
\begin{eqnarray}
{\dot{\mathbf{x}}}
&=& \left(\cos{\theta}\right){\hat{\mathbf{r}}} + \left(\sin{\theta}\right)\hat{\mathbf{v}}_{\perp}, \\
{\ddot{\mathbf{x}}}
&=& -\left(\sin{\theta}\dot{\theta}\right){\hat{\mathbf{r}}} + \left(\cos{\theta}\right)\dot{\hat{\mathbf{r}}} + \left(\cos{\theta}\dot{\theta}\right)\hat{\mathbf{v}}_{\perp} + \left(\sin{\theta}\right)\dot{\hat{\mathbf{v}}}_{\perp} \\
&=& -\left(\sin{\theta}\dot{\theta}\right){\hat{\mathbf{r}}} + \left(\cos{\theta}\right)\left(\dot{\theta} + \frac{1}{r}\sin{\theta}\right)\hat{\mathbf{v}}_{\perp} + \left(\sin{\theta}\right)\dot{\hat{\mathbf{v}}}_{\perp},
\end{eqnarray}
$$
y la aceleración (dos de sus tres componentes)
$$
\begin{eqnarray}
{\ddot{\mathbf{x}}}\cdot\hat{\mathbf{r}} &=& -\left(\sin{\theta}\dot{\theta}\right) + \left(\sin{\theta}\right)\left(\dot{\hat{\mathbf{v}}}_{\perp} \cdot \hat{\mathbf{r}}\right) \\
&=& -\left(\sin{\theta}\right)\left(\dot{\theta} + \frac{1}{r}\sin{\theta}\right), \\
{\ddot{\mathbf{x}}}\cdot\hat{\mathbf{v}}_{\perp} &=& +\left(\cos{\theta}\right)\left(\dot{\theta} + \frac{1}{r}\sin{\theta}\right).
\end{eqnarray}
$$
Esto nos lleva al resultado de que el cuadrado de la curvatura
$$
\kappa^2 = \lVert\ddot{\mathbf{x}}\rVert^2 \ge \left({\ddot{\mathbf{x}}}\cdot\hat{\mathbf{r}}\right)^{2} +
\left({\ddot{\mathbf{x}}}\cdot\hat{\mathbf{v}}_{\asesino}\right)^{2} = \left(\dot{\theta} + \frac{1}{r}\sin{\theta}\right)^{2},
$$
donde $\theta$ es el ángulo entre la velocidad y el exterior radial del vector. El lema de la siguiente manera tomando la raíz cuadrada de ambos lados.
