El alce debe fluir, pero ¿cómo?

Question

Antecedentes

Supongamos que he recopilado un conjunto de datos de la latitud y longitud de las huellas de alce dentro de un polígono irregular, y también tomé un rumbo de la dirección en la que apuntaban las pezuñas.

Crédito de la imagen: © Galen Seilis 2022 (utilizado con permiso)

También supongamos que la intensidad de muestreo espacial es aproximadamente uniforme. El área de estudio es lo suficientemente pequeña como para poder ignorar la curvatura de la Tierra, si se desea.

Esto nos acerca mucho a tener un campo vectorial sobre $\mathbb{R}^2$, solo que no hay una clara noción de magnitud. Para tener en cuenta esto, defino cada observación $\vec{v}_i$ como el gradiente normalizado en ese punto del espacio de algún campo hipotético $u : \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$.

Me gustaría asumir que no existen fuentes o sumideros en el gradiente del campo $u$. Esto se debe a que los alces entran y salen del área de estudio potencial. Si bien, por supuesto, los alces nacen y mueren en algún lugar, quiero asumir que estos eventos son lo suficientemente raros como para ser ignorados en mi modelo. Visualmente esto significa que ninguno de los dos patrones siguientes ocurre en ningún momento:

Debido a cómo definí las observaciones para ser el gradiente normalizado, estaba dispuesto a asumir que el gradiente no es el vector cero en ninguna parte de todos modos. Esto excluye otros patrones de campo también.

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Otras Consideraciones

• En este momento no tengo un problema bien planteado.
• El objetivo es producir patrones plausibles de flujo de alces a través de un área pequeña.
• A veces las huellas de alce son plausiblemente del mismo individuo debido a estar alineadas y cercanas entre sí, pero generalmente las huellas están relativamente aisladas.
• Hay un montón de enfoques de aprendizaje automático que podría usar para estimar un mapa $\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$, pero preferiría usar ecuaciones diferenciales para la comprensibilidad.
• En un punto de borde, el gradiente de $u$ podría ser perpendicular, paralelo, o ninguno al propio borde.
• No estoy modelando la dependencia temporal porque estimar la edad de una huella es bastante difícil.
• He empezado asumiendo que es una función en lugar de una función multivaluada, pero un vector aleatorio es una forma razonable de proceder. Lo primero podría funcionar si en la práctica las huellas superpuestas parcialmente no están exactamente una sobre la otra. Pero lo segundo tiene sentido en el sentido de que un alce dado podría ir en diferentes direcciones desde el mismo punto dependiendo de detalles no modelados de su entorno, o que alces distintos podrían tener cerebros o percepciones diferentes y en consecuencia decidir caminar en direcciones diferentes desde el mismo punto. El punto de Frank sobre los cruces de caminos es excelente: es decir, que la probable existencia de cruces de caminos impide la existencia de un campo vectorial de una sola valor.
• No he decidido qué es razonable asumir sobre la rotación; voy a pensar más en ello. Como señaló Frank, la rotación del gradiente de un campo debe ser cero.
• Las caminatas aleatorias en $\mathbb{R}^2$ podrían ser productivas. Cuanto más explicable, mejor, pero no me importa agregar un poco de ruido de un proceso estocástico.
• El objetivo final es estimar caminos probables que los alces están tomando hacia adentro y luego fuera de la región delimitada.
• Whuber plantea un buen punto de que los alces siguen caminos específicos. En teoría, no deberían haber vectores donde los alces no hayan ido. La dificultad es que no sabemos por dónde han pasado los alces, y deseamos inferirlo.
• SextusEmpiricus sugirió que una formulación de flujo es prometedora para resolver el problema de los cruces de caminos.
• Supongo que probablemente no haya alces en la región delimitada en un día dado. Lo que sospecho es que los alces ocasionalmente atraviesan el área mientras se alimentan.
• A veces es posible saber si las huellas son 'extremadamente' frescas, pero en general las edades de las huellas no se adivinan de manera confiable (por lo menos por mí).

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Pregunta

¿Qué modelo (y condiciones de frontera si corresponde) sería adecuado para modelar el flujo de alces a través de una región delimitada?

Answer 1

Como ya has señalado, la pregunta es si estás tratando con un campo vectorial $v$ desde tu polígono $P$ hasta $\mathbb{R}^2$, $v:P \to \mathbb R^2$, y dado que se supone que está normalizado, tu campo se mapea al círculo unitario $\mathbf{S}^1$, es decir, $v:P\to\mathbf{S^1}$.

Primero, consideremos la idea de un campo de gradiente: Note que cada campo vectorial que es un campo de gradiente debe tener curl cero, $curl$, $curl(v) = 0$. Y dado que se espera que los alces, al menos a veces, caminen en lazos, un campo de gradiente podría no ser un modelo apropiado.

Además, las pistas de alce probablemente se cruzarán, lo que significa que ni siquiera tienes un mapeo adecuado desde tu polígono $P$ hasta $\mathbf S$, por lo que ni siquiera tienes un campo vectorial adecuado.

Entonces, ¿cuál podría ser un modelo adecuado? El primer paso sería responder la pregunta de qué es lo que realmente quieres lograr, ¿cuál es tu objetivo final? ¿Quieres predecir dónde estará un alce en el futuro? ¿Quieres tener una "función de densidad de alces" (dependiente del tiempo)? ¿Quieres clasificar pistas de alce?

Answer 2

Alce ventoso

Puede que tengas pocos puntos de datos para realmente "modelar" esto. Pero esto no significa que no puedas ver los patrones en los datos.

El truco es que, en lugar de una vaca esférica, puedes generalizar a tu amado alce como viento, y cada huella como una estación meteorológica que indica la dirección observada en cada punto.

Con tales simplificaciones en su lugar, podrías generar un gráfico de líneas de corriente o de vientos para ver el flujo y extraer el modelo.

Answer 3

Mis pensamientos desde la perspectiva de un ecólogo, especialmente en el contexto de:

El objetivo final es estimar los posibles caminos que los alces están siguiendo para entrar y salir de la región delimitada.

Ecología del movimiento

Mencioné esto en un comentario, pero la ecología del movimiento podría ser el lugar donde buscar. Se enfoca mucho en datos de movimiento, especialmente de rastreadores GPS, pero también es un campo muy joven. No estoy seguro de si la base teórica está allí todavía para pasar de algo como datos de GPS (que tienen información temporal, posiblemente información de velocidad de aceleración también) a lo que tienes (sin información temporal, por lo que no sabes el orden de tus rastros). Desafortunadamente, sólo tengo un conocimiento superficial al respecto, así que no puedo señalar tipos específicos de modelado/análisis estadístico. Pero solo un comentario, podrías ser capaz de inferir la velocidad (o la magnitud de los vectores) por la longitud de zancada si tienes suficientes rastros juntos en una secuencia.

Ecología del paisaje

Dependiendo de tus objetivos y otros tipos de datos a los que puedas tener acceso, podrías mirar hacia la ecología del paisaje en busca de inspiración. Un objetivo muy común de los ecólogos es entender la conectividad en los paisajes, generalmente centrada en una especie en particular, que es importante para la planificación de conservación. La conectividad en el paisaje está directamente relacionada con el movimiento. Baja conectividad = bajo potencial de movimiento.

Entra en la Teoría de Circuitos (la versión ecológica, basada en la teoría de circuitos eléctricos). En principio, si tienes datos ambientales relevantes para tu especie, puedes crear un mapa de resistencia (o conductancia) específico para tu especie. Por ejemplo, cosas como el agua y la cubierta arbórea podrían indicar áreas de baja resistencia para los alces, ya que eso es lo que generalmente necesitan para sobrevivir, mientras que un campo de cantos rodados podría ser de alta resistencia (es más probable que lo rodeen en lugar de atravesarlo). Con ese único mapa de resistencia, luego puedes modelar el flujo y la conectividad para predecir hacia dónde podría moverse tu organismo. Típicamente, esto se basa en un modelo de caminata aleatoria debido a su simplicidad.

Con datos ambientales, tus rastros de alces pueden potencialmente ser utilizados para crear un modelo de distribución de especies. Esto a su vez puede ser utilizado como un mapa de conductancia para la teoría de circuitos. La idea es que si un área es considerada "buena" para la especie, entonces probablemente sea más fácil para ellos moverse a través de ella también. El problema es que el modelado de distribución de especies es un tema enorme y complejo.

La herramienta más conocida en la teoría de circuitos (ecológicos) podría ser Circuitscape. Hay un montón de documentos de investigación e informes que lo utilizan. Más recientemente, alguien que conozco desarrolló una generalización de la teoría de circuitos que incorpora absorción (por ejemplo, mortalidad), y yo desarrollé el paquete R samc para ello. Específicamente, te permite calcular cosas como la probabilidad de llegar a un punto particular, cuántas veces se espera que un individuo visite un punto, cuánto se espera que tarde en llegar a un punto, cuánto se espera que un individuo sobreviva, etc.

Existe superposición entre la ecología del movimiento y la ecología del paisaje, incluyendo la incorporación de datos de movimiento con caminatas aleatorias correlacionadas, que luego pueden ser incorporadas en la teoría de circuitos (algo que espero incorporar como una opción en mi paquete en el futuro).

Answer 4

No es una respuesta, solo un comentario extendido.

Primero, si no tienes datos temporales y se puede asumir que no se encontraron todas las pistas, algunas podrían haber sido dañadas, etc., entonces no es posible recrear exactamente el camino. Solo son posibles aproximaciones, "supuestos educados".

Si miras la imagen que publicaste, hay varias posibilidades para resolverlo.

• Tienes una colección de puntos visitados por el alce. Probablemente puedes asumir que si dos pistas que van en una dirección similar están cerca una de la otra, es más probable que sigan una después de la otra. Si lo enmarcas de esta manera, ¿no es una variación del problema del agente viajero?

• El agente viajero encontraría un único camino. Dada la naturaleza ruidosa de los datos, esta podría no ser la mejor solución. Otro enfoque podría ser simular posibles caminos (la dirección del vector te dice cómo deberían empezar y terminar) entre todas las parejas de puntos, donde la importancia de cada camino, o la probabilidad de muestrearlo, sería inversamente proporcional a la longitud del camino. En tal caso, encontrarías regiones con muchos caminos superpuestos o mayor peso de importancia de todos los caminos dentro de esta área, para encontrar los más probables. Aquí el camino "probable" sería aquel que resultara de la superposición de muchos caminos simulados.

  Esto podría ser más desafiante técnicamente (¿cómo generarías las curvas? ¿cómo juzgarías si son plausibles?), pero para demostrar que la aproximación podría tener sentido, intenta primero dibujar las líneas a mano. Como puedes ver en la imagen a continuación, después de dibujar un montón de líneas "aleatorias" comienzan a emerger patrones. Dibujarlas a mano no es la mejor idea, porque las personas son muy malas generando cosas "aleatorias", buscamos y forzamos patrones, por lo que rápidamente comenzarías a generar caminos "aleatorios" que se ajusten a tu hipótesis. Esto es solo un ejemplo para mostrar cómo muestrear caminos aleatorios podría ser útil aquí.

Answer 5

Este enfoque de encontrar trayectorias de vector de mejor ajuste a través de un volumen delimitado con mediciones de punto dirigidas es el principio general de la Imagen de Tensor de Difusión. Existe una gran cantidad de metodología y matemáticas en torno a encontrar trayectorias bajo estas restricciones. Un ejemplo de un artículo introductorio: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3163395/ explica el principio general de las medidas anisotrópicas en voxels (o píxeles, en su caso).

Más enfoques avanzados pueden tomar en cuenta las fibras cruzadas, lo cual es más probable en su caso ya que solo tiene dos dimensiones. Estos métodos suelen validarse contra cerebros físicos del mundo real, por lo que puede tener cierta confianza en que tienen validez dentro de sus restricciones.

Espero que pueda adaptar estos principios a su problema de rastreo de alces.