Usaré el hecho de que la ecuación (2) puede escribirse como en la ecuación (1) con $U=\exp(i\theta)$, excepto por un factor de $\pm i$ que realmente no afecta la pregunta.
La palabra "no equivalente" se está utilizando aquí para significar que una de las transformaciones de calibre no puede obtenerse de la otra por ninguna deformación continua de $U$. Si $M$ es la variedad que representa el espacio, entonces una configuración específica del campo de calibre es un mapeo suave $M\rightarrow G$, donde $G$ es el grupo de calibre. Considera dos casos:
-
Primero supongamos que $G=SU(2)\cong S^3$, donde $S^3$ denota una tres-esfera. Si compactificamos $M=\mathbb{R}^3$ a $M=S^3$ al incluir el "punto en el infinito", entonces podemos tener mapeos $S^3\rightarrow S^3$ que no pueden ser convertidos continuamente entre sí. En otras palabras, el grupo de homotopía $\pi_3(S^3)$ no es trivial (Nakahara, Geometría, Topología y Física, ecuación 4.48).
-
Ahora supongamos que $G=U(1)\cong S^1$. Ya sea con $M=\mathbb{R}^3$ o $M=S^3$, todos los mapeos suaves $M\rightarrow S^1$ pueden ser convertidos continuamente entre sí. En particular, el grupo de homotopía $\pi_3(S^1)$ es trivial.
Una transformación de calibre que no está conectada continuamente a la identidad (en la variedad del grupo) a veces se llama una transformación de calibre grande. Este tema se aborda aquí:
https://mathoverflow.net/questions/155532/large-vs-small-gauge-transformations-and-physical-theories
Apéndice
En mi respuesta original, incluí un párrafo sobre los mínimos del hamiltoniano que estaba fuera de tema y no muy bien concebido. Aunque sigue estando fuera de tema de tu pregunta, aquí hay una sustitución mejor concebida para el párrafo original:
Si dos configuraciones están relacionadas entre sí por una transformación de calibre, grande o pequeña, entonces deberían ser físicamente equivalentes, incluso si son "no equivalentes" en el sentido de no estar conectadas continuamente entre sí. Considera el caso $G=SU(2)$, y deja que $|0\rangle$ sea un estado tipo vacío en el cual el campo de calibre está limitado a estar conectado continuamente a la configuración trivial, y supongamos que es invariante bajo transformaciones de calibre pequeñas (es decir, transformaciones de calibre que están conectadas continuamente a la identidad). Entonces podemos construir estados distintos $$ |n\rangle=U_n|0\rangle $$ aplicando cualquier transformación de calibre grande $U_n$ en la clase de homotopía $n$-ésima. Estas clases de homotopía están etiquetadas por enteros porque $\pi_3(S^3)\cong \mathbb{Z}$. Los estados $|n\rangle$ no son invariantes de calibre bajo transformaciones de calibre grandes, por lo que ninguno de estos estados puede representar el verdadero vacío. Sin embargo, como $\pi_3(S^3)\cong \mathbb{Z}$, podemos construir un estado que es invariante bajo todas las transformaciones de calibre eligiendo cualquier $\theta\in\mathbb{R}$ y escribiendo $$ |\theta\rangle=\sum_n e^{in\theta}|n\rangle. $$ Este estado es invariante de calibre bajo todas las transformaciones de calibre (salvo un factor global físicamente irrelevante), incluidas las grandes, porque \begin{align*} U_k|\theta\rangle &=\sum_n e^{in\theta}U_k|n\rangle \\ &=\sum_n e^{in\theta}|n+k\rangle \\ &=\sum_n e^{i(n-k)\theta}|n\rangle \\ &=e^{-ik\theta}|\theta\rangle \\ &\propto |\theta\rangle. \end{align*} Esto funciona porque el grupo de homotopía $\pi_3(S^3)$ es el grupo aditivo de enteros $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, cualquier estado de la forma $|\theta\rangle$ es un candidato para el verdadero estado de vacío. La respuesta de David Bar Moshe en
Large and small gauge transformations?
y la respuesta de ACuriousMind en
"Large" gauge transformation doesn't act as do-nothing transformation in QFT: looking for classical analog
ambas incluyen más información sobre este tema.
