¿Cómo evaluarías $\liminf\limits_{n\to\infty} \ n \,|\mathopen{}\sin n|$?

Question

¿Cómo evaluarías el límite inferior de la secuencia $n\,|\mathopen{}\sin n|$? Es decir, $$\liminf\limits_{n\to\infty} \ n \,|\mathopen{}\sin n|$$

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Editar. Sea $\mu$ la medida de irracionalidad de $\pi$. Dado que $\mu$ no se conoce, dividiré la pregunta:

1. Suponiendo que $\mu > 2$, ¿cuál es $\liminf\limits_{n\to\infty} \ n\,|\mathopen{}\sin n|$?
2. Suponiendo que $\mu = 2$, ¿cuál es $\liminf\limits_{n\to\infty} \ n\,|\mathopen{}\sin n|$?

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Me gusta un poco su gráfica...

Answer 1

La respuesta breve es: si $\mu > 2$, entonces $\liminf\limits_{n\to \infty}\: n\lvert\sin n\rvert = 0$, y si $\mu = 2$, entonces puede ser $0$ o puede ser estrictamente positivo.

El valor depende de la expansión en fracción continua simple de $\pi$. Sea $[a_0,a_1,a_2,\dotsc]$ la expansión en fracción continua simple de $\pi$. Dado que los numeradores de los convergentes están dados por $p_k$ y los denominadores por $q_k$, y sea $\alpha_k$ el $k^{\text{th}}$ cociente completo, es decir, $\alpha_k = [a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$. Entonces, por la teoría general de fracciones continuas simples, tenemos

$$\biggl\lvert \pi - \frac{p_k}{q_k}\biggr\rvert = \biggl\lvert \frac{p_k\alpha_{k+1} + p_{k-1}}{q_k\alpha_{k+1} + q_{k-1}} - \frac{p_k}{q_k}\biggr\rvert = \frac{\lvert p_{k-1}q_k - p_kq_{k-1}\rvert}{q_k^2\bigl(\alpha_{k+1} + \frac{q_{k-1}}{q_k}\bigr)} = \frac{1}{q_k^2\bigl(\alpha_{k+1} + \frac{q_{k-1}}{q_k}\bigr)}.$$

Dado que $a_{k+1} < \alpha_{k+1} < a_{k+1}+1$ y $0 < \frac{q_{k-1}}{q_k} < 1$, tenemos las desigualdades

$$\frac{1}{(a_{k+1}+2)q_k^2} < \biggl\lvert \pi - \frac{p_k}{q_k}\biggr\rvert < \frac{1}{a_{k+1}q_k^2}.$$

Dado $\varepsilon \in (0,1)$, existe un $\delta > 0$ tal que $(1-\varepsilon)\varphi < \sin \varphi < \varphi$ para $0 < \varphi < \delta$, y para $k$ suficientemente grande tenemos $\frac{1}{q_k} < \delta$, de donde

$$\frac{(1-\varepsilon)p_k}{(a_{k+1}+2)q_k} < p_k\lvert\sin p_k\rvert = p_k\lvert \sin (p_k-q_k\pi)\rvert < \frac{p_k}{a_{k+1}q_k}.$$

Si la secuencia $(a_k)$ de cocientes parciales es ilimitada, esto muestra

$$0 \leqslant\liminf_{n\to\infty} \: n\lvert\sin n\rvert \leqslant \liminf_{k\to \infty}\: p_k\lvert\sin p_k\rvert = 0,$$

y si la secuencia de cocientes parciales está acotada, entonces

$$\frac{\pi}{s+2} \leqslant \liminf_{k\to \infty} \: p_k\lvert\sin p_k\rvert \leqslant \frac{\pi}{s}$$

para $s = \limsup\limits_{k\to\infty} a_k$.

Ahora sea $n \geqslant 50$, y $m$ el entero más cercano a $\frac{n}{\pi}$. Si $\bigl\lvert\pi - \frac{n}{m}\bigr\rvert \geqslant \frac{1}{2m^2}$, entonces

$$n\lvert \sin n\rvert = n\lvert \sin (n - m\pi)\rvert \geqslant n\frac{2}{\pi} \lvert n - m\pi\rvert \geqslant \frac{n}{\pi m} \geqslant \frac{3}{\pi}.$$

Si $\bigl\lvert\pi - \frac{n}{m}\bigr\rvert < \frac{1}{2m^2}$, entonces $\frac{n}{m}$ es un convergente de $\pi$, es decir, existe un $k$ y un $r$ tal que $n = r\cdot p_k$ y $m = r\cdot q_k$. De lo anterior obtenemos primero

$$\frac{1}{(a_{k+1}+2)q_k^2} < \biggl\lvert \pi - \frac{p_k}{q_k}\biggr\rvert = \biggl\lvert\pi - \frac{n}{m}\biggr\rvert < \frac{1}{2r^2q_k^2},$$

entonces $r < \sqrt{\frac{a_{k+1}+2}{2}}$, y luego

$$\frac{r}{(a_{k+1}+2)q_k} < \lvert m\pi - n\rvert < \frac{r}{a_{k+1}q_k},$$

lo que muestra que $\lvert m\pi - n\rvert < \frac{\pi}{2}$, y en consecuencia

$$n\lvert\sin n\rvert = n\lvert \sin (m-m\pi)\rvert \geqslant n\frac{2}{\pi}\lvert n - m\pi\rvert > \frac{2r^2p_k}{\pi(a_{k+1}+2)q_k}.$$

Dado que $r \geqslant 2$ implica $a_{k+1} > 6$, vemos que $n\lvert\sin n\rvert > p_k\lvert\sin p_k\rvert$ cuando $n = r\cdot p_k$, $r \geqslant 2$.

Dado que $\pi$ no es una irracionalidad cuadrática, su expansión en fracción continua no puede volverse eventualmente periódica, así que si $s = \limsup_{k\to\infty} a_k < +\infty$, entonces por los cálculos anteriores tenemos

$$\liminf_{n\to\infty} \: n\lvert\sin n\rvert \geqslant \frac{\pi}{s+2}.$$

Resumimos

$$\liminf_{n\to\infty} \: n \lvert \sin n\rvert = 0$$ si y solo si la secuencia $(a_n)$ de cocientes parciales en la expansión en fracción continua simple de $\pi$ es ilimitada.

Si el índice de irracionalidad $\mu$ de $\pi$ es mayor que $2$, la secuencia de cocientes parciales es ilimitada, entonces para cada $\varepsilon \in (0,\mu - 2)$ incluso tenemos $a_{k_m+1} > q_{k_m}^{\varepsilon}$ para una secuencia estrictamente creciente $(k_m)_{m\in\mathbb{N}}$.

Si $\mu = 2$, la secuencia de cocientes parciales aún puede ser ilimitada, pero hasta donde sé, es desconocido si está acotada o no.