Existencia de dos bases tales que un operador lineal pueda ser asociado a una matriz fija

Question

Estoy teniendo problemas para resolver la siguiente pregunta:

Considere el operador lineal $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$ definido por: $$T(x,y,z,w)= (2x+y-z, x+y+w, -x).$$

es decir, $T$, en relación a la base canónica de $\mathbb{R}^4$ y $\mathbb{R}^3$, está dado por:

$$[T] =\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Considere la matriz: $$ M =\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & -2 \end{bmatrix} $$

¿Existen bases $\mathcal{C}$ de $\mathbb{R}^4$ y $\mathcal{D}$ de $\mathbb{R}^3$ tales que $[T]_{\mathcal{C},\mathcal{D}} = M$ ?

Intenté fijar $\mathcal{C} = \{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) \}$ y no tuve éxito en encontrar una base $\mathcal{D}$.

También intenté verificar si la dimensión de $\dim \ker T$ y $\dim Im(T)$ se conservan en las dos matrices. En ambos casos tenemos $\dim \ker T = 1$.

Answer 1

Si $M$ estuviera representando a $T$ en algunas bases, su rango sería igual a la dimensión de $\operatorname{im}(T)$, que es $3$. Pero en realidad, $M$ tiene rango $2$, porque la tercera columna es la primera menos la segunda y la cuarta columna es el doble de la segunda menos la primera.