¿Existe un subconjunto abierto de R de medidas de Lebesgue .5 cuyo cierre tiene medida de Lebesgue 1?

Question

Por supuesto, si el conjunto fuera arbitrario, sería fácil encontrar una solución considerando Q. Pero ¿hay algún ejemplo de un conjunto abierto? Creo que la respuesta es no.

Mi intento: Según la clasificación de conjuntos abiertos en R, el conjunto debe ser una unión numerable de intervalos abiertos disjuntos. Por lo tanto, su cierre es el cierre de esa unión. Que es la unión de los cierres de esos intervalos. Dado que la medida de los intervalos no cambia con la adición de puntos finales, las medidas totales no pueden cambiar.

Answer 1

Digamos que $(r_n)$ es una enumeración de los números racionales en $(0,1)$. Elija $a_n>0$ con $\sum 2a_n<1/2$ y sea $$E=(0,1)\cap\bigcup_n(r_n-1_n,r_n+1_n).$$Entonces $E$ es abierto, denso y $m(E)<1/2$.

Ahora para $\alpha\in(0,1)$ sea $$S_\alpha=E\cup(0,\alpha).$$Note que $m(S_\alpha)$ depende continuamente de $\alpha$; por lo tanto existe un $\alpha$ tal que $m(S_\alpha)=1/2$.

Answer 2

Enumerar $\Bbb Q\cap[0,1]$ como $q_1,q_2,q_3\ldots$. Deje $$ U=\bigcup_{n\in \Bbb N}(q_n-2^{-n-2},q+2^{-n-2}).$$ Entonces $$\mu(U)\le\sum_{n=1}^\infty 2^{-n-1}=\frac12 $$ pero $\overline U=[0,1]$.

Answer 3

Considera el conjunto de fracciones diácticas $\left\{\frac{a}{2^m}\right\}$ donde $a$ es un entero impar y $m$ es un entero positivo. Este es un conjunto denso.

Ahora considera la unión de intervalos $$\bigcup_{a,m} \left(\frac{a}{2^m}-\frac{k}{2^{2m}}, \frac{a}{2^m}+\frac{k}{2^{2m}} \right)$$ para alguna constante real $k$ con $0 \lt k \lt 2$. Dado que esta es una unión de intervalos abiertos, también es un conjunto abierto. Y no incluye el $0$ o el $1$ por lo que su intersección con $[0,1]$ es también un conjunto abierto. Ahora considera esa intersección.

La intersección con el intervalo unitario tiene medida positiva, y para algún $k \approx 0.55985$ tiene medida $\frac12$, mientras que su cierre es el intervalo unitario con medida $1$.

El siguiente gráfico, tomado de algo que hice hace $15$ años, muestra cómo la medida de la frontera del conjunto abierto con $k$, es decir, $1$ menos la medida del conjunto abierto. Es una función estrictamente decreciente y continua que tiene un conjunto denso de puntos donde su derivada es cero.