Mostrar que el conjunto de todas las funciones $f : A \rightarrow \{0,1\}$ es equinumeroso con el conjunto potencia de $A.$

Question

Estoy teniendo dificultades para establecer una biyección del conjunto de funciones $ f: A\rightarrow \{0,1\},$ al conjunto potencia de $A.$

Para el caso donde $A$ es finito, encontré que $2^{|A|}$ es la cantidad total de funciones de $A$, y que $|P(A)| = 2^{|A|}$ también. Para los casos donde $A$ es numerable o innumerable no estoy seguro de cómo proceder. Sé que por el teorema de Cantor $|A| < |P(A)|$.

Answer 1

Sea $\{0,1\}^A$ el conjunto de todas las funciones de $A$ en $\{0,1\}$ y $2^A$ el conjunto de partes de $A$. Define una función $$ G : \{0,1\}^A \to 2^A $$ como $$ G(f) = \{a\in A \mid f(a)=1\}. $$ Argumenta que $G$ es una biyección.