Convergencia débil en $L^1$ con un factor acotado

Question

Sea $Z_n$ una variable que converge débilmente en $L^1$ a $Z$, es decir, para todo $E\in\mathcal{F}$ se tiene que

$$ \mathbb{E}\left[Z_n\,I(E)\right]\to \mathbb{E}\left[Z\,I(E)\right]. $$

Ahora sea $X$ una variable aleatoria acotada. Quiero demostrar que $Z_n\,X$ converge débilmente a $Z\,X$, es decir,

$$ \mathbb{E}\left[(Z_n-Z)\,X\,I(E)\right]\to 0. $$

Para demostrar esto, intento encontrar una desigualdad adecuada. Pensé en la desigualdad de Hölder, pero no parece ser el camino adecuado:

$$ \left|\mathbb{E}\left[(Z_n-Z)\,X\,I(E)\right]\right|\leq \mathbb{E}\left[\left|(Z_n-Z)\,X\,I(E)\right|\right]\leq C\,\mathbb{E}\left[\left|(Z_n-Z)\,I(E)\right|^p\right]^{1/p} $$

con $p>1.

Answer 1

Necesitas un teorema de Análisis Funcional que dice que las secuencias convergentes débilmente están acotadas en norma. Por lo tanto, $\sup \{\int |Z_n|+\int|Z| \}<\infty$. Ahora, la hipótesis implica que $EZ_nY \to EZY$ para cualquier función simple $Y$. Dado que $XI_E$ es una función medible acotada, existe una función simple $Y$ tal que $||XI_E-Y||_\infty<\epsilon$. Por lo tanto, $E|Z_nXI_E-ZXI_E|\leq \epsilon \int |Z_n| +\epsilon\int |Z| +|\int Z_nY-\int ZY|$. Deja que $n \to \infty$ y luego $\epsilon \to 0.