¿Cómo se puede construir, para cada una de las $n\geq 1$, un ideal en $\mathbb Z[x]$ de la forma $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ $a_i\in \mathbb Z[x]$ de manera tal que es imposible tener $(b_1,b_2,\dots,b_m)=(a_1,a_2,\dots,a_n)$$m<n$$b_j\in\mathbb Z[x]$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es sólo una elucidación de la sugerencia dada en este MO post.
Deje $p$ ser una de las primeras. El reclamo es que el ideal de $I_n=(p^n, p^{n-1}x, p^{n-2}x^2,\ldots, px^{n-1}, x^{n})$ no puede ser generado por menos de $n+1$ elementos.
La reclamación. $I_n=(p,x)^n$.
Prueba de reclamación. Inducción en $n$: si $n=1$, $I_1=(p,x)$ y hemos terminado.
Suponga que el resultado vale para $n$, y deje $I_{n+1}=(p^{n+1},p^{n}x,\ldots,px^{n},x^{n+1})$. Entonces $$I_{n+1} = I_n(p,x) = (p^n,p^{n-1}x,\ldots,px^{n-1},x^n)(p,x);$$ de hecho, los elementos de la derecha son las sumas de la forma $$\sum_{i=1}^n a_ib_i$$ donde $a_i\in (p^n,p^{n-1}x,\ldots,x^n)$ $b_i\in (p,x)$ por cada $i$. Si $a_i = k_0p^n + k_1p^{n-1}x + \cdots + k_{n-1}px^{n-1} + x^ng(x)$ $b_i = \ell_0p + xh(x)$ , entonces el término constante de $a_ib_i$ es congruente a $0$ modulo $p^{n+1}$; el término lineal es congruente a $0$ modulo $p^n$; el término cuadrático es congruente a $0$ modulo $p^{n-1}$; etc. por lo $a_ib_i\in I_{n+1}$ por cada $i$, por lo tanto la suma es $I_{n+1}$.
Por el contrario, cualquier elemento de $I_{n+1}$ puede ser escrito como $$b_0p^{n+1}+b_1p^nx + \cdots + b_npx^{n} + x^{n+1}g(x).$$ Desde $b_ip^{n+1-i}x^i = (b_ip^{n-i}x^i)p \in (p^n,p^{n-1}x,\ldots,x^n)(p,x)$, cada uno de los primeros a $n+1$ sumandos encuentran en el producto; y $x^{n+1}g(x) = (x^ng(x))x$, que también se encuentra en el producto. Por lo tanto, $I_{n+1}$ está contenida en el producto, dando a la igualdad.
Por la Hipótesis de Inducción, $$I_{n+1} = (p^n,p^{n-1}x,\ldots,px^{n-1},x^n)(p,x)= I_n(p,x) = (p,x)^n(p,x) = (p,x)^{n+1}.$$ Esto demuestra la reclamación. $\Box$
Ahora considere el $I_{n}/I_{n+1} = (p,x)^n/(p,x)^{n+1}$. Esto tiene sentido, ya que en general $IJ\subseteq I\cap J\subseteq I$, lo $I_{n+1}$ está contenido en $I$.
Considere la posibilidad de los generadores: $p^n\in I_n$ se asigna a un elemento de orden dividiendo $p$ en el cociente (desde $p^{n+1} = pp^n\in (p,x)^{n+1}$); $p^nx$ asimismo se asigna a un elemento de orden $p$; y así sucesivamente; cada generador de $I_n$ es de orden dividiendo $p$ en el cociente. Eso significa que, como un grupo abelian, $I_n/I_{n+1}$ es de exponente $p$.
Ya tenemos un finitely generado abelian grupo de exponente $p$, es isomorfo, como un grupo abelian, a una suma directa de copias de el grupo cíclico de orden $p$. El número de cíclico sumandos es igual a la dimensión de $I_n/I_{n+1}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$, el campo con $p$ elementos.
Yo afirman que las imágenes de la generación del sistema de $I_n$ son linealmente independientes en $I_n/I_{n+1}$. En efecto, supongamos que $\alpha_0,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{F}_p$ son tales que $$\alpha_0[p^n] + \alpha_1[p^{n-1}x] + \cdots + \alpha_n[x^n] = [0],$$ donde $[r]$ denota la imagen de $r\in I_n$ en el cociente. La sustitución de $\alpha_i$ con un número entero, $0\leq \alpha_i\lt p$, lo que equivale a decir que $$\alpha_0p^n + \alpha_1p^{n-1}x + \cdots + \alpha_nx^n \in I_{n+1}.$$ En orden para este polinomio a mentir en $I_{n+1}$, necesitamos $p^{n+1}|\alpha_0p^n$, $p^n|\alpha_1p^{n-1},\ldots,p|\alpha_n$. Desde $\alpha\neq 0$ implica $(p,\alpha_i)=1$ por la construcción, esto sólo es posible si $\alpha_i=0$ por cada $i$. Por lo tanto, las imágenes de los generadores de $I_n$ son linealmente independientes en $I_n/I_{n+1}$.
Por lo tanto, $\dim_{\mathbb{F}_p}(I_n/I_{n+1})\geq n+1$. Desde la dimensión es menor o igual al tamaño de cualquier grupo electrógeno $I_n$, se deduce que, si $I_n$ puede ser generado por $m$ elementos, a continuación,$m\geq n+1$; ya sabemos $I_n$ puede ser generado por $n+1$ elementos, se deduce que el tamaño mínimo de un grupo electrógeno $I_n$$n+1$, como se desee.
