¿Es la red de Fibonacci la mejor manera de distribuir de manera uniforme N puntos en una esfera? ¿Hasta ahora parece ser la mejor?

Question

En el hilo "Distribución uniforme de n puntos en una esfera" se menciona este tema: https://stackoverflow.com/questions/9600801/evenly-distributing-n-points-on-a-sphere.

Pero lo que me gustaría saber es: "¿Es la retícula de Fibonacci la mejor manera de distribuir uniformemente N puntos en una esfera? Hasta ahora parece ser la mejor. ¿Alguien conoce un método mejor?"

Tengo un doctorado en física y podría tener una aplicación para alguna de esta investigación en física.

Me encontré con este maravilloso documento:

http://arxiv.org/pdf/0912.4540.pdf "Medición de áreas en una esfera utilizando retículas de Fibonacci y de latitud-longitud"

El documento afirma: "La retícula de Fibonacci es una alternativa particularmente atractiva. Al ser fácil de construir, puede tener cualquier número impar de puntos y estos están uniformemente distribuidos (Fig. 1) con cada punto representando casi la misma área. Para la integración numérica de funciones continuas en una esfera, tiene ventajas distintas sobre otras retículas."

¿Es la retícula de Fibonacci la mejor manera de distribuir N puntos en una esfera para que estén uniformemente distribuidos? ¿Existe alguna forma mejor?

Como se mencionó anteriormente en el documento, "con cada punto representando casi la misma área."

¿Es imposible, en principio (excepto para casos especiales y raros de N como 4, etc.), distribuir exactamente de manera uniforme N puntos en una esfera para que cada punto/región tenga exactamente la misma área?

Hasta ahora me parece que la retícula de Fibonacci es la mejor manera de distribuir N puntos en una esfera para que estén uniformemente distribuidos. ¿Consideras que esto es correcto?

¡Muchas gracias!

Answer 1

La malla de Fibonacci no es la mejor manera de distribuir puntos de manera uniforme en una esfera. El problema de distribuir N puntos de manera uniforme en una esfera unitaria solo se conoce para N específicos.

Además, los vértices de los sólidos platónicos no son siempre óptimos. Esto se describe de manera sucinta en el sitio de Wolfram Mathworld:

“Para dos puntos, los puntos deben estar en extremos opuestos de un diámetro. Para cuatro puntos, deben ser colocados en los vértices del poliedro de un tetraedro regular inscrito. No hay una solución única mejor para cinco puntos ya que la distancia no puede reducirse por debajo de eso para seis puntos. Para seis puntos, deben ser colocados en los vértices del poliedro de un octaedro regular inscrito. Para siete puntos, la mejor solución son cuatro triángulos esféricos equiláteros con ángulos de 80 grados. Para ocho puntos, la mejor dispersión no son los vértices del poliedro del cubo inscrito, sino de un antiprisma cuadrado con aristas de poliedro iguales. La solución para nueve puntos son ocho triángulos esféricos equiláteros con ángulos de arcos(1/4). Para 12 puntos, la solución es un icosaedro regular inscrito.”

Existen muchos solucionadores aproximados para esto (SpherePoints[] y Offset Lattice). La Espiral de Fibonacci es fácil de programar, pero no es óptima.