¿Puede ser diferente el grupo estructural al fibrado de grupo de Lie de un haz principal?

Question

Sea $\pi: P \rightarrow M$ un fibrado principal de grupo $G$ cuyas fibras son un grupo de Lie $G$. En la Teoría de Calibre Matemático de Hamilton, se afirma que

El grupo $G$ se llama el grupo de estructura del fibrado principal.

Me quedé pensando que el término grupo de estructura es otra forma de referirse a la fibra de un fibrado principal.

Sin embargo, también he encontrado otros recursos (como esta pregunta: ¿Cuál es el grupo de estructura del fibrado tangente?) que proporcionan una definición más general donde el grupo de estructura puede ser completamente diferente a la fibra. Por lo que he entendido de su definición, sea $\pi: E \rightarrow M$ un fibrado de fibras con fibra $F$. Si $u$ está en el dominio de dos trivializaciones $\phi_1: E \rightarrow M \times F$ y $\phi_2: E \rightarrow M \times F$, con imágenes $\phi_1(u) = (x, f_1)$ y $\phi_2(u) = (x, f_2)$, entonces el grupo de estructura $G$ del fibrado de fibras es un grupo cuya acción de grupo relaciona estas dos imágenes, es decir, $f_1 = g \cdot f_2$ para algún $g \in G$.

Ahora estoy un poco confundido sobre qué es exactamente el grupo de estructura y cómo se relaciona con la fibra de un fibrado de fibras, especialmente en el contexto de los fibrados principales. En el caso de tener un fibrado principal de grupo $G$, ¿el grupo de estructura siempre es el mismo que la fibra (y por lo tanto el grupo de Lie) $G$ o se puede generalizar a otro grupo?

Answer 1

Lo que está en el enlace en realidad no es una definición más general, es más restrictiva. Aquí está lo que escribe Hamilton; inmediatamente después de dar la definición de un fibrado principal, él dice

Observación 4.1.3: Las referencias clásicas [133] (Steenrod) y [81] (Husemoller) usan el término fibrado de fibras en un sentido más restrictivo; ver Observación 4.1.15.

y la observación 4.1.15 dice lo siguiente:

Observación 4.1.15: Algunas referencias, como [133] y [81], usan el término fibrado de fibras de manera más restrictiva. Si la definición topológica en estos libros se transfiere a un entorno suave, la definición equivale a asumir que las funciones de transición de un atlas de fibrados son aplicaciones suaves a un grupo de Lie $G$, actuando suavemente como un grupo de transformaciones en la fibra $F$, en lugar de aplicaciones al grupo completo de difeomorfismos $\text{Diff}(F)$ de la fibra: \begin{align} \phi_{ji}:U_i\cap U_j&\to G\\ x&\mapsto \phi_{jx}\circ\phi_{ix}^{-1}. \end{align} De manera equivalente, un fibrado de fibras es, con esta definición, siempre un fibrado asociado en el sentido de la Observación 4.7.8.

Entonces, el fibrado de fibras definido por Hamilton (y también por otros autores) no viene equipado con un grupo, mientras que en las otras referencias de Steenrod y Husemoller (por ejemplo, tomaremos el de Husemoller) la definición es como el fibrado de fibras asociado:

Definición. [Husemoller, Definición de Fibrado de Fibras]

Sea $\xi=(X,p,B)$ un fibrado principal de $G$ y sea $F$ un espacio izquierdo de $G$. La relación $(x,y)s=(xs,s^{-1}y)$ define una estructura de espacio derecho de $G$ en $X\times F$. Sea $X_F$ el espacio cociente $(X\times F)/G$ y $p_F$ la factorización de $X\times F\to X\to B$ por la proyección $X\times F\to X_F$. Con esta notación, el fibrado $(X_F,p_F,B)$, denotado $\xi[F]$, es llamado el fibrado de fibras sobre $B$ con fibra $F$ (visto como un espacio de $G$) y el fibrado principal asociado $\xi$. El grupo $G$ es llamado el grupo de estructura del fibrado de fibras $\xi[F]$.

Reiterando, se nota que aunque en esta fuente se llama a $G$ "el grupo de estructura de $\xi[F]$", la definición misma de fibrado de fibras es restrictiva, en el sentido de que un fibrado de fibras está definido como un fibrado asociado de un fibrado principal (mientras que Hamilton lo requiere como un triple $(X,p,B)$ donde $p$ es sobreyectivo y suave/continuo y satisface una condición de trivialidad local...otros nombres para este objeto incluyen fibrado (suave/continuo) localmente trivial).