Cómo encontrar todos los conjuntos finitos $ M $ tales que $ |M|\ge 2$ y $ \frac {2a}{3} - b^2\in M$ para todo $ a,b\in M$

Question

¿Cómo encontrar todos los conjuntos finitos de números reales $ M $ tales que $ |M | \ge 2 $ y $ \frac {2a} {3} - b^2 \in M $ para todo $ a, b \in M $?

Answer 1

Supongamos que $M$ es un conjunto no vacío finito con esta propiedad. Sea $p$ el elemento más pequeño de $M$ (existe porque $M$ es no vacío y finito). Entonces el número $2p/3-p^2\in M$, por lo que tenemos $$ p\le 2p/3-p^2. $$ Esta desigualdad se cumple si y solo si $p\in[-1/3,0]$.

Para todo $b\in M$ entonces tenemos $2p/3-b^2\ge p$, por lo que $b^2\le-p/3$. Esto nos da un límite superior para $|b|\le \sqrt{-p/3}\le \sqrt{1/9}=1/3$.

A continuación, prestemos atención al elemento de $M$ que está más cerca de cero, es decir, aquel con el menor valor absoluto. Llamemos a ese elemento $\epsilon\in M$. Dado que $\epsilon$ es bastante pequeño, el número $\delta=2\epsilon/3-\epsilon^2\in M$ también es pequeño. Pero por la elección de $\epsilon$, su valor absoluto no puede ser menor que $|\epsilon|$.

Si $\epsilon>0$ entonces $\delta<\epsilon$. Por la minimalidad de $|\epsilon|$, debemos tener $\delta\le-\epsilon$. Esto es equivalente a $5\epsilon/3\le\epsilon^2$, por lo que $\epsilon\ge5/3$, contradiciendo nuestro límite superior.

Si $\epsilon=0$ entonces podemos seleccionar $b=0$ junto con todos los $a\in M$. Esto implica que $(2/3)^ka\in M$ para todos los $a\in M$ y $k\in\Bbb{N}$. Esa es una secuencia infinita de elementos distintos, por lo que podemos concluir que $0\notin M$.

Si $\epsilon<0$, entonces también $\delta<0$. Por lo tanto, debemos tener $\delta\le\epsilon$. Esto es equivalente a $-\epsilon/3\le\epsilon^2$ y dividiendo por $\epsilon<0$ implica que $-1/3\ge\epsilon$. Esto nos deja solo con la elección $$ p=-\frac13=\epsilon. $$

Pero ahora tenemos un problema. Todo lo anterior implica que $M\subseteq\{-1/3,1/3\}$. Pero si $1/3\in M$, entonces también lo es $1/9=(2/3)\cdot(1/3)-(1/3)^2$, lo que contradice la elección de $\epsilon$.

Conclusión: A menos que haya entendido algo mal, no existen tales conjuntos. Las consideraciones anteriores también implican que $\{0\}$ y $\{-1/3\}$ son los únicos conjuntos unitarios cerrados bajo esa función.