Sea $p,q\in \mathbb{R}$ con $p\neq q$. Encuentra un homeomorfismo $h\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $h(p)=q$ y $$h\big\vert_{\mathbb{R}\setminus M}=\operatorname{id}$$ donde $M$ es un conjunto acotado arbitrario.
Mi idea:
Claramente esta función se ve así $$h(x)=\begin{cases}x & x\in \mathbb{R}\setminus M\\ f(x) & x\in M\end{cases}$$
Entonces si $M=[t_1,t_2]$ entonces claramente debemos tener $t_1\leq q\leq t_2$ y dado que necesitamos continuidad, necesitamos $f'(t_1)=f'(t_2)=1$.
Mi intento fue usar $f(x)=\sin(x)$ porque $$\frac{\mathrm d }{\mathrm d x}\sin(0)=\cos(0)=1$$ $$\frac{\mathrm d }{\mathrm d x}\sin(2\pi)=\cos(2\pi)=1$$
Entonces mi función se convierte en $$h(x)=\begin{cases}x & x\in\mathbb{R}\setminus M\\ q+\sin(k\cdot x) & x\in M=[q,q+\pi/2]\end{cases} $$
Porque $p$ debe ser alcanzado por el seno y el seno solo es homeomórfico $[-\pi/2,\pi/2]$, debemos encontrar un factor $k$ para que podamos estirar el seno en $M=[q,q+\pi/2]$ de manera que $$q+\sin(k\cdot x)=p\implies k=\frac{\arcsin{p-q}}{x}$$
Ahora necesito una segunda subfunción $g(x)$ para conectarse nuevamente con la línea identidad.
$$h(x)=\begin{cases}x & x\in\mathbb{R}\setminus (M\cup N)\\ q+\sin(\arcsin{p-q}) & x\in M=[q,q+2\pi] \\ g(x) & x\in N=[q+2\pi,t_3]\end{cases} $$
Pero aquí me quedo atascado. ¿Cómo encuentro ahora una función $g(x)$ para volver a conectarme con la línea identidad $f(x)=x$? ¿Y está correcto hasta ahora?
