"No es posible" instrucción en matemáticas y el Axioma de Elección

Question

Esta pregunta en realidad se compone de 3 piezas relacionadas de texto, que he reunido bajo este título sobre el que me gustaría su opinión (más bien se contienen implícitamente la pregunta "¿es esta la forma correcta de pensar acerca de este problema"). Estoy dispuesto a ofrecer recompensa por esto.

$1.$ Considerar el siguiente teorema: no Hay ninguna función $f:\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right)\rightarrow\left[0,\infty\right]$ que es la traducción-invariante y $\sigma$-aditivo tal que $0<f\left(\left(0,1\right)\right) < \infty$.

Su prueba es como sigue: en primer lugar, definir una relación de equivalencia $a\sim b:\Leftrightarrow a-b\in\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$, a continuación, seleccione un sistema de $S$ de los representantes de lo que se encuentra en $\left(0,1\right)$. Esta $S$ es la clave para demostrar el teorema.

Lo que me preocupa es cómo obtenemos $S$. La prueba de que conozco dice "nos tienen que usar el axioma de elección para hacer eso": El elección de picking de la función de miembro de cada una de equivalencia de la clase. Como Yo entender el uso del axioma de elección viene del hecho de que no podemos determinar explícitamente la forma de que el conjunto de todas la equivalencia clases (si tenemos un representante que podemos conseguir fácilmente que está en el open de la unidad de intervalo).

Cada clase de equivalencia tiene que tener la forma $a+\mathbb{Q}$ para algunos real $a$, y está claro que la clase de equivalencia de cualquier racional número del es $\mathbb{Q}$. Pero los números irracionales causa del problema: No tenemos los medios para describir explícitamente todas las clases de equivalencia de los números irracionales, ya que para un determinado $b,c\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, no sabemos si están en la misma clase de equivalencia o no: $1+\sqrt{2}$ y $2+\sqrt{2}$ obviamente; pero para $\pi$ $e$ que no saber, puesto que en la actualidad se desconoce si $\pi-e$ es racional o no. Ahora el axioma de elección evita este problema. Pero la necesidad para usar el axioma de elección, me parece depender en este caso sólo en el estado actual de la investigación: tal vez en 100 años vamos a resolver el caso de $\pi$ $e$ y, además, diseñar algunos métodos que por $b,c\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sabemos si son en la misma clase de equivalencia o no (por ejemplo, si resulta que podemos clasificar de alguna manera ellos podemos distinguir los casos). Por lo tanto diciendo que tienen para usar el axioma de elección parece malo para mí; diciendo: "en la actualidad no podemos hacer sin el axioma de elección" me parece mejor.

$2.$ El de arriba me parece estar en contraste a decir "tenemos que usar el axioma de elección para la exhibición de una de las funciones que elige un elemento de cada subconjunto de los reales" ya que he leído, que no hay modelo fuerte de la teoría de los argumentos que implica que, de hecho, nadie va a ser capaz de construir explícitamente una función de este tipo. Pero incluso en este caso, a mí me parece, que la palabra "tener" es demasiado fuerte, ya que implica que uno de alguna manera se puede demostrar que sin el axioma de elección es imposible demostrar esa afirmación.

$3.$ Está demostrando, que una declaración de $T$ no puede ser probado sin el axioma de elección de la misma como la demostración de que $T$ es equivalente al axioma de elección ?

¿Está usted de acuerdo conmigo ?

Answer 1

Permítanme responder en tres partes.

1. Nosotros cuando decimos que tenemos la necesidad de usar el axioma no es porque algunos de los números de hacer saber y para algunos no saben cuál es su clase de equivalencia. Hay modelos donde el axioma de elección se produce un error y es imposible elegir a sus representantes de $\Bbb{R/Q}$.

   Esta es la razón que necesita el axioma de elección, y tendrá siempre necesidad de que, en orden a la construcción de un no-medibles como, por ejemplo, un conjunto de Vitali. No es acerca de nuestra falta de conocimiento acerca de la explícitos los números reales y así sucesivamente, es simplemente porque sabemos que es constante por lo que es imposible hacer si el axioma de elección se produce un error.

2. Sí. Podemos probar que en algunos modelos es imposible hacer esta elección, por ejemplo, hay modelos donde todos los conjuntos que están en el hecho de Lebesgue medibles, y hay otros en los que todos los conjuntos de Borel. En estos dos modelos, tenemos que (1) el axioma de elección falla, y (2) no hay ninguna función de elección de $\Bbb{R/Q}$.

3. No. No es lo mismo. Para ver más claramente se observa que el axioma de elección es mucho más fuerte que el axioma de contables elección (elección de contables de las familias de los no-vacía de conjuntos). Pero es bueno decir que usted no puede probar que el axioma de contables sin alguna forma de que el axioma de elección. Es decir, no podemos demostrar que del resto de los axiomas de ZF. Esto no significa que podemos probar que el axioma de elección, si tenemos el axioma de contables opción a nuestra disposición.

   Del mismo modo el hecho de que no podemos demostrar la existencia de un no-medibles conjunto, o, en particular, un conjunto de Vitali, sin alguna forma de que el axioma de elección no implica que podemos probar que el axioma de elección a partir de la existencia de tales conjuntos.

   La regla de oro es que si una declaración es hablar de un conjunto concreto (en nuestro caso, $\Bbb R$ o $\cal P(\Bbb R)$ si usted lo prefiere), no implica el axioma de elección. Por qué? Porque podemos organizar un modelo en el que el axioma de elección tiene para los conjuntos mucho más grande que este, y luego se rompe en la más aguda posible.

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Answer 2

Asaf la respuesta es, por supuesto, correcto, pero creo que puede ser una equivocación por parte de la OP que no aborda completamente. No saber si $\pi + \mathbb{Q}$ $e + \mathbb{Q}$ son de la misma no es el problema, porque podíamos dividir en los casos: si son el mismo, poner $\pi-3$ a $S$ y si no son el mismo, poner tanto $\pi-3$ $e-2$ a $S$. Esta es una buena cosa que hacer en la lógica clásica, y en caso de que el "paso" de la Vitali conjunto de la construcción se realiza correctamente.

Hay sólo un número finito de constantes matemáticas que alguien ha llamado, así que simplemente divide en los casos para cada uno, como el anterior, pero que no nos lleva muy lejos. El problema es que cada clase de equivalencia $C$ tiene la forma $r + \mathbb{Q}$ diferentes $r$ (infinitamente muchos) y cuando queremos elegir un elemento de $C$ sólo $C$—no nos da el término "$r + \mathbb{Q}$" así que no podemos simplemente asegúrese de seleccionar a $r$ propia, en base a la notación. La gran mayoría de las clases de equivalencia $C$ no contienen constantes con nombre como $e$ o $\pi$. Así que, dado que un "típico" $C$, sabemos que es no vacío, por definición, pero no tiene ninguna regla para elegir un elemento en todo (que es la situación en la que el Axioma de Elección está diseñado para dirección).