Sea $f:X\rightarrow Y$ un morfismo de tipo finito de esquemas localmente noetherianos. Sea $x\in X$ y $y=f(x)$. Recordemos que $f$ se dice que es no ramificado si el mapa de gérmenes $g:\mathcal O_{Y,y} \rightarrow \mathcal O_{X,x}$ satisface $g(m_y)=m_x$, donde $m_x$ denota el ideal maximal del anillo cociente.
La condición sobre el ideal maximal muestra que este mapa desciende a un mapa $k(y)\rightarrow k(x)$. ¿Es esto necesariamente una extensión finita? Creo que sí, porque tomando vecindarios afines apropiados, podemos reducirlo al caso de un mapa de esquemas afines con un mapa de anillos asociado $A\rightarrow A[t_1,\dots,t_n]$ para algunos elementos $t_i$ de anillo de secciones globales de $X$. Me parece que después de la localización y la formación del cociente para obtener el mapa de cuerpos residuales, el segundo anillo (ahora un cuerpo) aún debería ser finitamente generado sobre el primero. Desafortunadamente, no sé suficiente álgebra conmutativa para hacer esto rigurosamente. ¿Es esto correcto? Si es así, ¿cuál es la prueba?
Mi motivación proviene del estudio de morfismos etales, donde la finitud de la extensión anterior suele presuponerse. Sin embargo, en el libro de Qing Liu, en la página 139, parece implicar que la condición de finitud es redundante.
