Encontrar puntos límite

Question

Supongamos que tienes la siguiente secuencia compleja: $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$

$a_n=e^{\frac{2\pi i}{k}n}$

Para $k=1,2,3$ tengo que encontrar los puntos de límite y determinar si la secuencia converge. Me han dicho que los puntos de límite son:

Para $k=1$ es $2\pi$

Para $k=2$ es $\pi,2\pi$

Para $k=3$ es $\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{4}, 2\pi$

Pero no logro entender por qué?

En cuanto a la convergencia, he concluido que la secuencia converge cuando $k=1$, pero no cuando $k=2,3$ porque en ese caso hay más puntos de límite, y por lo tanto la secuencia no puede converger a un solo punto. ¿Es esta una suposición correcta? No encuentro nada al respecto en mi libro, pero me parece lógico, ya que una secuencia solo puede acercarse a un límite.

Answer 1

En caso de que $k=3$ tenemos \begin{align*} a_{n}=e^{\frac{2\pi i}{3}n}= \begin{cases} 1&\qquad n\equiv 0\pmod{3}\\ e^{\frac{2\pi i}{3}}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}&\qquad n\equiv 1\pmod{3}\\ e^{\frac{4\pi i}{3}}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}&\qquad n\equiv 2\pmod{3}\\ \end{cases} \end{align*}

Cada uno de los tres valores es un punto límite y, como razonaste correctamente, la secuencia $\left(a_{n}\right)_{n\geq 0}$ no converge, ya que una secuencia convergente tiene que tener precisamente un punto límite $a$.

Este punto $a$ tiene la propiedad de que para cada $\varepsilon>0$ encontramos un índice $N\in\mathbb{N}$ con \begin{align*} |a-a_n|<\varepsilon \qquad\qquad\forall n>N \end{align*}

En el primer caso con $k=1$ la secuencia converge ya que es una secuencia constante \begin{align*} (a_{n})_{n\geq 0}=\left(e^{2\pi i n}\right)_{n\geq 0}=(1)_{n\geq 0} \end{align*}