Probabilidad: $p\{X_t\in A\mid \min_{0\leq u\leq t}B_u>a\}=p\{X_t\in A,\min_{0\leq u\leq h} B_u>a\mid \min_{h\leq u\leq t}B_u>a\}$ siempre ¿funciona?

Question

Dejen $(X_t)$ y $(B_t)$ ser dos procesos estocásticos y $0\leq h\leq t$. ¿Siempre tenemos

$$p\left\{X_t\in A\mid \min_{0\leq u\leq t}B_u>a\right\}=p\left\{X_t\in A,\min_{0\leq u\leq h} B_u>a\mid \min_{h\leq u\leq t}B_u>a\right\}\ \ \ ?$$

Tengo que $$p\left\{X_t\in A,\min_{0\leq u\leq h} B_u>a\mid \min_{h\leq u\leq t}B_u>a\right\}=\frac{p\left\{X_t\in A, \min_{0\leq u\leq h} B_u>a, \min_{h\leq u\leq t} B_u>a\right\}}{p\left\{\min_{h\leq u\leq t} B_u>a\right\}}=\frac{p\left\{X_t\in A, \min_{0\leq u\leq t} B_u>a\right\}}{p\left\{\min_{h\leq u\leq t} B_u>a\right\}}$$

Pero no puedo llegar a $$p\left\{\min_{h\leq u\leq t} B_u>a\right\}=p\left\{\min_{0\leq u\leq t} B_u>a\right\},$$ por lo tanto tengo un problema para concluir.

Answer 1

Diría que no. Tu derivación me parece correcta y llegas a $$p\left\{\min_{h\leq u\leq t} B_u>a\right\}=p\left\{\min_{0\leq u\leq t} B_u>a\right\}$$ Esto no puede ser cierto para todo $0 \leq h \leq t$. Toma por ejemplo $h = t$. $$p\left\{B_t>a\right\} = p\left\{\min_{t\leq u\leq t} B_u>a\right\}=p\left\{\min_{0\leq u\leq t} B_u>a\right\}$$ Pero para cualquier $0 \leq t' \leq t$ es cierto que $$p\left\{\min_{0\leq u\leq t} B_u>a\right\} \leq p\left\{B_{t'}>a, B_t>a\right\} < p\left\{B_t>a\right\}$$ Eso nos da una contradicción.