¿Debe considerarse la función delta de Dirac como una subclase de la distribución gaussiana?

Question

En Wikidata es posible vincular las distribuciones de probabilidad (como todo lo demás) en una ontología, por ejemplo, que la distribución t es una subclase de la distribución t no central, véase, por ejemplo,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Existen varios casos límite, por ejemplo, cuando los grados de libertad de la distribución t llegan a infinito o cuando la varianza se acerca a cero para la distribución normal (distribución gaussiana). En este último caso, la distribución se acercará a la función delta de Dirac.

Observo que en la Wikipedia inglesa el parámetro de la varianza se indica actualmente como mayor que cero, por lo que con una interpretación estricta no se diría que la función delta de Dirac es una subclase de la distribución normal. Sin embargo, a mí me parece bastante bien, ya que diría que la distribución exponencial es una superclase de la función delta de Dirac.

¿Hay algún problema en afirmar que la función delta de Dirac es una subclase de la distribución gaussiana?

Answer 1

La delta de Dirac se considera una distribución gaussiana cuando es conveniente hacerlo, y no se considera así cuando este punto de vista requiere que hacer excepciones.

Por ejemplo, $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ se dice que disfrutan de un multivariante Distribución gaussiana si $\sum_i a_iX_i$ es una variable aleatoria gaussiana variable aleatoria para todo elecciones de números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . (Nota: este es un estándar definición en las estadísticas "avanzadas"). Dado que una opción es $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ la definición estándar trata la constante $0$ (una variable aleatoria degenerada) como una variable aleatoria gaussiana (con media y varianza $0$ ). Por otro lado, ignoramos nuestra consideración de la delta de Dirac como una distribución gaussiana cuando estamos considerando algo como

"La función de distribución de la probabilidad acumulada (CDF) de una variable aleatoria gaussiana de media cero con desviación estándar desviación estándar $\sigma$ es $$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ donde $\Phi(\cdot)$ es la FCD de una variable aleatoria gaussiana estándar".

Tenga en cuenta que esta declaración es casi correcto pero no es del todo correcto si consideramos el delta de Dirac como el caso límite de una secuencia de variables aleatorias gaussianas de media cero cuya desviación típica se aproxima a $0$ (y por tanto como una variable aleatoria gaussiana). La FCD del delta de Dirac tiene el valor $1$ para $x \geq 0$ mientras que $$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ Pero, mucha gente te dirá que considerar un delta de Dirac delta de Dirac como una distribución gaussiana no tiene sentido, ya que su libro dice que la varianza de una variable aleatoria gaussiana debe ser un número positivo (y algunos de ellos votarán en contra de esta respuesta para mostrar su descontento). Hubo una discusión muy vigorosa y esclarecedora de este punto hace unos años en stats.SE, pero lamentablemente fue sólo en los comentarios de una respuesta (por @Macro, creo) y no como respuestas individuales, y no puedo encontrarlo de nuevo.

Answer 2

Las funciones delta encajan en una teoría matemática de distribuciones (que es muy distinta de la teoría de distribuciones de probabilidad La terminología no puede ser más confusa).

Esencialmente, las distribuciones son funciones generalizadas. No se pueden evaluar como una función, pero entonces puede se integren. Más concretamente, una distribución $D$ se define como sigue

Dejemos que $T$ sea la colección de funciones de prueba . Una función de prueba $\theta$ es una función verdadera, honesta, suave, con un soporte compacto. Una distribución es un mapeo lineal $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Una función honesta $f$ determina una distribución mediante el operador de integración

$$ T(\theta) = \int f(x)\theta(x) dx $$

Hay distribuciones que no están asociadas a funciones verdaderas, el operador de dirac es una de ellas

$$ \delta(\theta) = \theta(0) $$

En este sentido, se puede considerar el dirac un caso límite de las distribuciones normales. Si $N_t$ es la familia de pdf's de distribuciones normales con media cero y varianza $t$ entonces para cualquier función de prueba $\theta$

$$ \theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int N_t(x) \theta(x) dx $$

Esto es probablemente más comúnmente expresado como

$$ \theta(0) = \int \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int N_t(x) \theta(x) dx $$

que un matemático consideraría un abuso de notación, porque la expresión $\delta(x)$ no tiene ningún sentido. Pero, de nuevo, ¿quién soy? I para criticar a Dirac, que es el mejor.

Por supuesto, si esto hace que el dirac sea un miembro de la familia de las distribuciones normales es una cuestión cultural. Aquí sólo doy una razón por la que puede tener sentido considerarlo así.