Pregunta sobre la prueba del Teorema 5 en la subsección 5.6.2 del libro de Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evans (página 283 en la 2ª versión)

Question

Este es el Teorema 5 en la subsección 5.6.2 del libro de Ecuaciones en Derivadas Parciales (PDE) de Evans (segunda edición):

Imagen 1: página 283 del libro de Evans

Imagen 2: página 284 del libro de Evans

Es un teorema relacionado con la desigualdad de Morrey (Teorema 4 en la subsección 5.6.2 del mismo libro). Tengo una pregunta sobre lo que él dice después de las ecuaciones (27) y (28).

Si la secuencia de funciones $ (u_m)\subset C^1(\mathbb{R}^n) $ converge a $ \overline{u} $ en $ W^{1,p}(\mathbb{R}^n) $ y a $ u^\ast $ en $ C^{0,1-\frac{n}{p}}(\mathbb{R}^n) $, ¿por qué podemos concluir que $ \overline{u}=u^\ast $ casi en todas partes en $ U $? No he encontrado ningún resultado que me permita obtener esta conclusión.

Answer 1

(Dado que queremos demostrar que la igualdad se cumple casi en todo en $U$ y $\bar u = u$ en $U$, simplemente reemplazaré $\bar u$ con $u$ en lo siguiente)

Aquí hay una forma de verlo: primero, notemos que dado que $U$ es un conjunto acotado, tenemos $u^*\in L^p(U)$. De hecho, $u^*$ es Hölder continua en $\mathbb R^n$, y en particular es continua en $\bar U$. Si denotamos $\|u^*\|_{C(\bar U)}$ como su norma supremo en $\bar U$, tenemos $$\|u^*\|_{L^p(U)}^p :=\int_{U} u^p\ dx \le \lambda(U)\cdot\|u^*\|_{C(\bar U)}^p <\infty, \tag1$$ donde $\lambda(U)$ es la medida de Lebesgue de $U$.

Ahora, obviamente $u\in W^{1,p}(U)$ implica $u\in L^{p}(U)$, y por lo tanto la cantidad $\|u - u^*\|_{L^{p}(U)}$ está bien definida. Además, para todo $m\ge 1$ tenemos:

$$\begin{align}\| u - u^*\|_{L^{p}(U)} &= \| u - u_m + u_m - u^*\|_{L^{p}(U)}\\ &\le \|u - u_m\|_{L^{p}(U)} + \|u^*- u_m\|_{L^{p}(U)}\\ &\le \|u - u_m\|_{W^{1,p}(U)} + \lambda(U)^{1/p}\|u^* - u_m\|_{C(\bar U)}\\ &\le \|u - u_m\|_{W^{1,p}(U)} + \lambda(U)^{1/p}\|u^* - u_m\|_{C^{0,1-n/p}(\bar U)},\tag2 \end{align} $$

donde hemos utilizado la desigualdad $(1)$ y las relaciones obvias entre las respectivas normas de $L^p(U)$ y $W^{1,p}(U)$, y las normas de $C(\bar U)$ y $C^{0,1-n/p}(\bar U) $.

Pero ahora, dado que la desigualdad $(2)$ se cumple para todo $m$, encontramos al tomar el límite $m\to\infty$ que $$\|u - u^*\|_{L^{p}(U)} = 0, $$ lo cual implica que $u$ y $u^*$ son iguales casi en toda en $U$, como queríamos.