Sea $A(\mathbb R)$ el grupo de permutaciones de $\mathbb R$, ¿es este grupo simple? En general, para un conjunto infinito $S$, ¿cómo podemos determinar si $A(S)$ tiene algún subgrupo normal no trivial o no?
Respuesta
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Si $S$ es un conjunto infinito, el grupo de permutaciones finitarias en $S$, es decir, aquellas permutaciones que fijan todo salvo un número finito de elementos, siempre es un subgrupo normal no trivial y adecuado.
Ver esta página del libro de Peter Cameron "Permutation Groups" para más detalles. En particular se mencionan los grupos alternantes finitarios y los grupos simétricos acotados, es decir, fijando un número cardinal $\mathfrak{n}$ no mayor que la cardinalidad de $S$, y considerando el grupo de permutaciones que mueven menos de $\mathfrak{n}$ puntos.
