Conjetura: números primos no decrecientes desde $(n,2n)$ hasta $(2n,4n)$.

Question

Más generalmente, afirmo:

$$\pi(na^k)-\pi(na^{k-1})\leq \pi(na^{k+1})-\pi(na^k)\quad\text{para }n,a,k \in \mathbb N.$$

El caso más útil de esto es probablemente decir que si hay $m$ números primos en $[n,2n]$, entonces habrá al menos $m$ números primos en $[2n,4n]$. Pensé que valía la pena señalar que esto también se puede escribir como

$$\pi(2n) \leq \frac{\pi(4n)+\pi(n)}{2}.$$

Dudo que haya contraejemplos, pero si alguien encuentra uno, por favor compártalo. A falta de eso, dado que esto parece ser una afirmación de fuerza intermedia, me pregunto qué tan fácil o difícil podría ser probarla, y si existen resultados similares conocidos.

---

Actualización

Parece que un límite mucho más estricto también se puede especificar a continuación como $ \pi(3n)+\pi(n) \leq 2\pi(2n)$ para $n>1323$.

---

También, note que esto se puede utilizar en sentido inverso.

Por ejemplo, supongamos que hemos deducido que los únicos números primos en $[8,16]$ son $11$ y $13$. Entonces, incluso sabiendo absolutamente nada sobre números primos excepto esta regla (y que comienzan en $2$), se deduce que podría haber como máximo $2$ números primos más en $[4,8]$, y otro $2$ en $[2,4]$, por lo que sabríamos que $\pi(13)\leq 6$.

Answer 1

Uno prueba fácilmente que $$ 2\pi(2n)\le\pi(4n)+\pi(n)$$ vale al menos para $1\le n<60184$. Siguiendo a [Pierre Dusart, 2010], sabemos que $$ \frac x{\ln x-1}<\pi(x)<\frac x{\ln x -1.1}$$ para todo $x\ge60184$. Por lo tanto, al menos para $n\ge 60184$, tenemos $$ \pi(2n)<\frac{2n}{\ln 2n -1.1}$$ y $$ \pi(4n)+\pi(n)>\frac{4n}{\ln 4n-1}+\frac n{\ln n-1}.$$

Para demostrar la afirmación, sería suficiente tener $$ \frac{4n}{\ln 2n-1.1}<\frac{4n}{\ln 4n-1}+\frac n{\ln n-1}$$ Si multiplicamos por $\frac 1{4n}$ y sustituimos $\ln n=t+1$, nuestro objetivo se convierte en $$ \frac{1}{t +\ln 2-0.1}<{\frac{1}{t+\ln 4}+\frac 1{4t}}$$ para todo $t\ge \ln 60184-1\approx 10$. Pero esto sigue directamente de $$ \frac{1}{t +\ln 2-0.1}-\frac{1}{t+\ln 4} =\frac{\ln 2 +0.1}{(t +\ln 2-0.1)(t+\ln 4)}<\frac1{t^2}<\frac1{4t}.$$

---

Reemplazando $2$ con un entero $a\ge2$, el mismo método se reduce a $$ \frac{2a}{\ln a+t-0.1}-\frac{a^2}{2\ln a+t}<\frac {1}{t}$$ lo cual se demuestra fácilmente. Sin embargo, el caso base para $n<60184$ pero con $a$ arbitrario no es tan trivial.