Cálculo multivariable pregunta sobre densidad de carga

Question

La esfera dada por $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ está sumergida en un campo eléctrico con densidad de carga dada por $f(x, y, z) = x^{2} + y^{2}$. Encuentra la cantidad total de carga eléctrica en esta superficie.

Estoy atascado en qué fórmula de integral usar.

Answer 1

Podemos resolver esto integrando sobre la superficie de la esfera en coordenadas esféricas $$x^2+y^2+z^2=4 \rightarrow r=2$$ $$f(x,y,z)=x^2+y^2 \rightarrow f(\theta,\phi)=sin^2(\theta)$$ $$dA = r^2sin(\theta)d\theta d\phi$$ $$\iint_{S(A)}sin^2(\theta)dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}4sin^3(\theta)d\theta d\phi= \frac{32\pi}{3}$$