Cálculo multivariado - regla de la cadena en derivadas parciales

Question

Al resolver ecuaciones de EDP, me di cuenta de que estoy un poco confundido con la regla de la cadena y que debo volver a lo básico. Tal vez sea solo cuestión de notación.

Por ejemplo
1) para una variable $$y=f(x), \ \ x=g(t) \implies f=( \ ( g(t) \ ) $$ $$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} \quad \quad \quad (1)$$

2) para dos variables $$z=f(x,y), \ x=g(t), \ y=h(t) \implies z=f(g(t),h(t))$$

$$\mathbf{\frac{dz}{dt}} = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{\frac{d x}{d t}} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{\frac{d y}{d t}} \quad \quad \quad (2)$$ $$$$

$$\mathbf{\frac{dz}{dt}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \quad \quad \quad (3)$$ $$$$ $$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \quad \quad \quad (4)$$ $$$$

Tal vez sea solo una cuestión de convención de notación cuando en el caso de una variable $\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{dx}{dt}$ (¿es correcto?)

¿Alguien puede clarificar las diferencias entre 2, 3 y 4?

Answer 1

Estás en lo correcto:

• Si $v$ es una función de una variable (llamémosla $t$) debes usar $dv/dt$ o $v'(t)$.
• Si $v$ es una función de más de una variable (una de ellas siendo $t$) debes usar $\partial v/\partial t$, o $v_t$ (o alguna de las otras notaciones para una derivada parcial).

La Ecuación (2) utiliza la notación correcta. Podría ser útil escribir en su lugar $$z(t)=f((g(t),h(t))$$

Luego, la derivada de $z$ es (omitir el argumento de las derivadas parciales $f_1$ y $f_2):

$$z'(t)=f_1g'(t)+f_2h'(t)$$

o usando la notación de Leibniz:

$$\frac{dz(t)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dg(t)}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dh(t)}{dt}$$

Alternativamente, puedes escribir $dx/dt$ en lugar de $dg/dt$ y $dy/dt$ en lugar de $dh/dt):

$$\frac{dz(t)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

que es tu ecuación (2).

Tu ecuación (3) utiliza $\partial x/\partial t$, lo cual está incorrecto porque $x$ es solo una función de una variable ($t$). De manera similar, la ecuación (4) utiliza $\partial z/\partial t$, que es la notación incorrecta porque $z$ es una función de solo una variable ($t$) (si estás pensando en $z$ como la composición de la función $f$ con la función $(g,h)$ en lugar de la función $f$ de dos variables).