Conjunto de matrices conmutativas a la matriz dada.

Question

Si $U$ es el conjunto de todas las matrices que conmutan con la matriz:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4\end{bmatrix}$ prueba que $U$ es un subespacio de $\mathbb{M}_{3X3}$ determina si contiene $span(I, A, A^2, ...)$ y luego determina las dimensiones y una base de los subespacios dados.

Sé que las matrices cuadradas conmutan con $I, A, A^2, ...$ pero no sé si hay más matrices que conmutan con esta, así que no sé cómo determinar los elementos del conjunto $U$, que es un subespacio de $\mathbb{M}_{3X3}$ como se establece, pero no sé cómo probar eso ya que no sé cómo determinar $U$, lo que significa que no sé si contiene el span dado tampoco. ¿Alguna idea?

Answer 1

Sea $B=(b_{ij})$ una matriz arbitraria de $3\times 3$ que satisface $AB=BA$. Entonces, esta ecuación de matriz es equivalente a $9$ ecuaciones en las variables $b_{ij}$, las cuales tienen una solución muy sencilla: $$B=\begin{pmatrix} b_1 & 0 & b_1-b_5 \cr 3(b_1 - b_5 - b_8) & b_5 & b_8 \cr 3(b_1 - b_5) & 0 & 3b_1 - 2b_5 \end{pmatrix}.$$ Aquí reescribí la matriz con las $9$ entradas como $b_1,\ldots ,b_9$. Esta es la solución general. Por supuesto, las potencias de $A$ conmutan con $A$ por definición.