La medida de radón que toma valores enteros tiene soporte discreto

Question

Sea $X$ un espacio polaco y $M(X)$ el conjunto de medidas de Radon en $X$. ¿Puede explicar por qué si $L \in M(X)$ es un valor entero, entonces $L$ está soportado en un conjunto discreto?

Answer 1

Una medida de Radón es internamente regular. Esto significa que si $A$ es Borel entonces $L(A)=\sup\{L(K): K\text{ es compacto}, K\subset A\}$.

Si $L\neq0$ entonces existe una bola $U$ (usar una métrica en $X$ que lo haga completo) con $L(U)\neq0$. Por regularidad interna hay un compacto $K\subset U$ tal que $L(U)-\frac{1}{3}

Ahora comenzamos persiguiendo los puntos de soporte dentro de estos compactos. Póngase en un punto $a\in K.

Si para todas las bolas $V$ centradas en $a$ tenemos $L(V)\neq0$ entonces $L(\{a\})=\lim L(V_n)\neq0$, donde $V_n$ es una secuencia decreciente de bolas con $a$ como intersección. La desigualdad se sigue ya que los $L(V)$ son enteros no nulos. Además, hay algún $n_0$ tal que para $n>n_0$ tenemos $L(V_n)=L(\{a\})$. Por lo tanto, $a$ está aislado de otros puntos de densidad.

Si hay una bola $a\in V\subset U$ tal que $L(V)=0$ consideramos $K\setminus V\subset K$ como el nuevo compacto que satisface $L(K\setminus V)=L(K)=L(U)$. La intersección de todos los compactos encontrados de esta manera no es vacía. Entonces, algún punto en esa intersección cae en el caso anterior de tener todas las bolas a su alrededor con medida no nula.