Rango de una matriz residual

Question

Hola, actualmente estoy estudiando regresión lineal. Mi pregunta es

¿Es verdad que

$rank(M)=n-k$ si $M = I_n- X(X'X)^{-1}X'$ donde M es una matriz (n x k) y $rank(M)=k$.

No puedo resolverlo. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Lo encontré por mí mismo. Porque M es simétrica e idempotente,

$rk(M) = tr(\Lambda)$ donde $M = C\Lambda C'$

$tr(M) = tr(C\Lambda C') = tr(\Lambda CC')$

$tr(M) = tr(\Lambda)$

$tr(M) = tr(I_n - X(X'X)^{-1}X') = tr(I_n)-tr(X(X'X)^{-1}X') = tr(I_n) - tr(I_k) = n-k$