Orden de términos y aproximación armónica

Question

Tengo una pregunta sobre algunos conceptos básicos para determinar el orden de un término en el contexto de la aproximación armónica.

Me refiero a la ecuación \begin{align} 2ml\dot{l}\dot{\phi} + ml^2\ddot{\phi} + mgl\sin(\phi) = 0 \end{align} y quiero simplificarla usando $\sin(\phi) \approx \phi$ y la aproximación armónica (lo que significa que puedo ignorar términos de orden mayor que $2$).

El libro de texto indica que $2ml\dot{l}\dot{\phi}$ es un término de orden $3$, por lo tanto la simplificación se ve de la siguiente manera:

\begin{align} ml^2\ddot{\phi} + mgl\phi = 0. \end{align}

Mis preguntas son:

1. ¿Por qué $2ml\dot{l}\dot{\phi}$ es un término de orden $3$?
2. ¿Por qué $ml^2\ddot{\phi}$ es un término de orden $\leq 2$?
3. Quizás la pregunta más importante (y más general): ¿Cómo puedo determinar rápidamente el orden de términos que se parecen a los anteriores?

Answer 1

Dado que la derivación de tu pregunta es un poco brusca, me tomo la libertad de ampliar un poco más. La primera ecuación de tu pregunta puede escribirse en la forma $$\frac{d}{dt}\left( ml^2 \dot{\phi}\right) + mgl\sin(\phi)=0$$ Intentando encontrar el Lagrangiano correspondiente, podemos escribirlo aún más como $$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot \phi}\left( \frac{1}{2}ml^2 \dot{\phi}^2\right)-\frac{\partial}{\partial \phi}\left( mgl\cos(\phi)\right)=0$$ Por lo tanto, concluyendo desde las ecuaciones de Euler-Lagrange, el Lagrangiano debe tener la forma $$L=\frac{1}{2}ml^2 \dot{\phi}^2 + mgl\cos(\phi)+L_2(l,\dot l)=T_1(\phi,\dot \phi, l, \dot l)-V_1(l,\phi)+L_2(l,\dot l)$$ Obviamente, este es un tipo de problema de péndulo donde $l$ es la longitud variable (de lo contrario su derivada respecto al tiempo no aparecería) del péndulo y $\phi$ es el ángulo de rotación.

La aproximación del oscilador armónico generalmente comprende dos cosas:

1. hay un estado de equilibrio donde $V$ es mínimo. Independientemente de cómo se comporte el sistema en nuestro caso con respecto a $l$, $V_1$ es mínimo para $\phi = n\cdot 2\pi$, donde $n$ es un entero. Para el péndulo, esta es claramente una de las configuraciones de equilibrio equivalentes distinguibles solo por el "número de vueltas" $n$. Sin pérdida de generalidad, podríamos elegir $\phi_0=0$ como el punto de equilibrio.
2. la expansión de Taylor del Lagrangiano alrededor del punto de equilibrio hasta términos de segundo orden. Dado que las fuerzas son cero (o la energía potencial es mínima) en equilibrio, los términos de primer orden desaparecen, por lo que solo permanecen los términos de segundo orden.

Supongamos que también hay un punto de equilibrio para $l$ dado por $l_0$, entonces la aproximación del oscilador armónico se obtiene expresando el Lagrangiano en las nuevas coordenadas de equilibrio $$\phi\to \phi_0+\phi \qquad \mbox{y} \qquad l\to l_0+l$$ donde ahora $\phi$ y $l$ denotan las pequeñas desviaciones del punto de equilibrio (sería más claro denotarlas por $\delta \phi$ y $\delta l$, pero quiero evitar el desorden notacional). Entonces, debido a $\phi_0=0$ obtenemos $$L=\frac{1}{2}m(l_0+l)^2 \dot{\phi}^2 + mg(l_0+l)\cos(\phi)+L_2(l_0+l,\dot l_0+\dot l)$$ La expansión de Taylor en las pequeñas desviaciones $\phi$ y $l$ hasta segundo orden produce $$L\approx \frac{1}{2}ml_0^2 \dot{\phi}^2 + mg(l_0+l) - \frac{1}{2}mgl_0\phi^2+(\dots \mbox{términos de $L_2$} \dots)$$ Especialmente nota que en la expansión de Taylor se han descuidado los términos cúbicos (es decir, de orden 3) en $l\dot \phi^2$ y $l\phi^2$, los términos cuárticos (de orden 4) en $l^2\dot \phi^2$, e incluso órdenes superiores (del coseno), como lo requiere la aproximación del oscilador armónico.

El Lagrangiano anterior con respecto a $\phi$ conduce a la segunda ecuación de tu pregunta, excepto que denota por $l_0$ la longitud de equilibrio del péndulo, que en tu versión aún se denota por $l$. Sin embargo, la versión de tu "libro de texto" es confusa ya que $l_0$ es en realidad una constante, mientras que parece que $l$ sugiere que sigue siendo una longitud variable.

También podrías introducir directamente la transformación a las variables de equilibrio en la ecuación de movimiento. Entonces, harías la expansión de Taylor solo hasta el primer orden (como lo indicó la respuesta de TBissinger, y por esto en la respuesta de Eli se llama linearización, orden 1 significa lineal). Sin embargo, como se mencionó anteriormente, si no tienes en cuenta la posición de equilibrio para $l$, no entenderás qué término es de qué orden. Por lo tanto, responder a tus preguntas numeradas no tiene sentido porque ignoran este hecho.

Por supuesto, la derivación anterior es un poco más extensa que la tuya, pero al menos entiendes lo que está sucediendo. Por lo general, si has realizado este tipo de cálculos varias veces, ya no es necesario pasar por todos los detalles nuevamente, y puedes caer en cálculos más generales con gestos o manos.

Answer 2

Las ecuaciones de movimiento son:

$${\ddot l}-{\dot\varphi }^{2}l-g\cos \left( \varphi \right)+\frac km\,l=0\\ \ddot\varphi +2\,{\frac {{\dot l}\,\dot\varphi }{l}}+{\frac {g\sin \left( \varphi \right) }{l}}=0 $$

Linearización

$$\cos(\varphi)=1-\frac 12\,\varphi^2 +\frac{1}{24}\varphi^4+\ldots\approx 1\\ \sin(\varphi)=\varphi-\frac 16 \varphi^3+\frac{1}{120} \varphi^5+\ldots\approx \varphi \\ \dot{\varphi}^2=0~,\text{segundo orden }\\ \dot l\,\dot\varphi=0 ~,\text{segundo orden }$$

$\Rightarrow$

$${\ddot l}-g+\frac km\,l=0\\ l\,\ddot\varphi +g\,\varphi =0 $$

Answer 3

El orden depende de dónde dejes caer los términos. Tienes dos niveles de descripción, el Lagrangiano o Hamiltoniano de tu sistema y la ecuación de movimiento derivada de éste.

1. La aproximación armónica a nivel del Lagrangiano (o Hamiltoniano) es exactamente eso: dejar caer todos los términos más allá del orden cuadrático. Así que tienes un polinomio de segundo orden como tu Lagrangiano/Hamiltoniano después de la aproximación. Básicamente una partícula en un potencial de pozo cuadrado.
2. Para obtener las ecuaciones de movimiento, tienes que utilizar la derivación en el Lagrangiano/Hamiltoniano. Derivar un polinomio de segundo orden una vez conduce a un polinomio de primer orden como tu ecuación de movimiento. Básicamente la ley de Hooke.