Derivación del álgebra tensorial

Question

Con $\delta^\mu_\nu$ siendo el delta de Kronecker, con todos los índices corriendo de $0$ a $3$, $g_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$, y $\delta^\mu_\mu =g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=4$, no logro demostrar que

$$D_{\nu\lambda}\left[ -\big( k^2-m^2 \big)g^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu \right]=\delta^\mu_\lambda$$

conduce a

$$D_{\nu\lambda}=\dfrac{-g_{\nu\lambda}+\big(k_\nu k_\lambda\big)/m^2}{k^2-m^2}~~.$$

Mi intuición me dice que debo hacer $\lambda\to\mu$ para que $\delta^\mu_\lambda=4$, lo que resulta en

$$D_{\nu\lambda}\left[ -\big( k^2-m^2 \big)g^{\lambda\nu}+k^\lambda k^\nu \right]=4~~,$$

pero aquí me pierdo. Tal vez debería multiplicar ambos lados por $g_{\lambda\nu}$, y probablemente debería completar un cuadrado o algo para obtener ese término $m^4$ dando vueltas, pero no lo estoy viendo. ¿Algún consejo? Gracias.

Answer 1

La solución proviene de un ansatz $D_{\nu\lambda}=Ag_{\nu\lambda}+Bk_\nu k_\lambda$.